Mise à l'échelle de la sortie FFT en fonction du nombre de points dans la FFT

Lors du calcul de la FFT à N points d'un signal, le résultat est toujours divisé par N. Je peux comprendre pourquoi c'est le cas pour une sommation sur les N points, mais souvent le résultat de l'opération FFT est un vecteur de longueur N plutôt qu'une sommation. Pourquoi alors le vecteur longueur-N qui est la sortie de la FFT est-il mis à l'échelle par le nombre de points (N) utilisés pour calculer la FFT? Merci.

La différence est que la transformée de Fourier numérique (et FFT également) donne un vecteur de taille N (ou M dans certains cas) qui contient des sommes de N échantillons.

Donc, fondamentalement, chaque point de la transformation FFT est le résultat d'une somme sur un certain intervalle de temps des échantillons basés sur le temps. C'est pourquoi vous divisez par N.

Vous pouvez le considérer de cette façon: vous prenez un intervalle de N échantillons de votre signal; ensuite, vous additionnez essentiellement tous les échantillons N fois, mais à chaque fois en les multipliant pour une fonction différente, ce qui permet d'extraire les informations pour une fréquence spécifique (ou plage de fréquence, pour être plus précis).

À la fin, en résumé, au lieu d'avoir N échantillons, chacun associé à un intervalle de temps, vous avez N échantillons (comme précédemment) mais chacun d'entre eux est lié à l'intervalle entier et décrit la composante du signal pour une plage de fréquence spécifique .

Juste pour être complet, il y a quatre cas de transformée de Fourier:

1. Transformée de Fourier continue, pour des signaux continus dans le temps, sur un intervalle fini, qui donne une réponse en fréquence continue;

2. Série de Fourier, prenant un signal continu et périodique et donnant la série discrète d'harmoniques, donc avec des composantes fréquentielles discrètes;

3. Transformée de Fourier discrète dans le temps, l'inverse de (2), dans laquelle à partir d'un signal discret dans le temps donne une fonction périodique dans le domaine fréquentiel;

4. Transformée de Fourier numérique, qui prend un signal discret et périodique pour donner un spectre discret et périodique.

Ainsi, la transformation d'un signal périodique donne un spectre discret et vice versa.

Le facteur d'échelle 1 / N est placé de façon presque arbitraire. Une FFT non mise à l'échelle suivie d'un IFFT non mis à l'échelle utilisant exactement les mêmes facteurs de torsion exponentiels complexes multiplie le vecteur d'entrée par le scaler N.Pour récupérer la forme d'onde d'origine après un aller-retour IFFT (FFT ()) (ce qui en fait des fonctions inverses), certaines paires d'implémentation FFT / IFFT mettent à l'échelle la FFT de 1 / N, certaines mettent à l'échelle l'IFFT de 1 / N, certaines à la fois de 1 / sqrt (N).