Preuve que chaque circuit avec diodes a exactement une solution

11

Prenons un circuit électronique composé de composants linéaires et d'un certain nombre de diodes idéales. Par "idéal", je veux dire qu'ils peuvent être soit polarisés en sens (c'est-à-dire et ) soit polarisés en sens inverse (c'est-à-dire et ). $v_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $i_D=0$

Ces circuits peuvent être calculés en déclarant arbitrairement chaque diode à ou à inverse, et en définissant pour chaque diode à et pour chaque diode à inverse. Après avoir calculé le circuit linéaire résultant, nous devons vérifier si à chaque diode polarisée en sens et à chaque diode polarisée en inverse est satisfaite. Si oui, c'est notre solution. Sinon, nous devons essayer un autre ensemble de choix pour les diodes. Ainsi, pour diodes, nous pouvons calculer le circuit en calculant au plus circuits linéaires (généralement beaucoup moins). $v_D=0$ $i_D=0$ $i_D\geq 0$ $v_D\leq 0$ $N$ $2^N$

Pourquoi ça marche? En d'autres termes, pourquoi y a-t-il toujours un choix qui mène à une solution valide et (plus intéressant) pourquoi n'y a-t-il jamais deux choix qui mènent tous les deux à des solutions valides?

Il devrait être possible de prouver qu'au même niveau de rigueur avec lequel, par exemple, le théorème de Thevenin est prouvé dans les manuels.

Un lien vers une preuve dans la littérature serait également une réponse acceptable.

circuit-analysis diodes

— Stefan
source

1

Parce qu'un circuit physique peut être dans un seul état à la fois uniquement. Ce n'est pas de la mécanique quantique ...

— Eugene Sh.

3

@EugeneSh .: C'est vrai, mais ce n'est pas ce que le PO demande. Certains circuits peuvent se trouver dans l'un quelconque d'un certain nombre d'états différents dans des conditions externes identiques. La question est de prouver qu'il n'y a qu'un seul état de ce type pour la classe de circuits que l'OP décrit.

— Dave Tweed

5

@Eugene Sh .: par exemple, une bascule (ou tout circuit bi-stable) est un contre-exemple d'un circuit qui a plus d'une solution. S'il n'y a pas de "même condition initiale", vous devez assumer toutes les conditions et rechercher les solutions stables disponibles, puis vous constatez que certains circuits n'en ont qu'un, quelles que soient les conditions initiales (par exemple, les circuits linéaires) et d'autres en ont plus d'un. .

— Curd

1

@EugeneSh. Il s'agit ici de prouver que le comportement en régime permanent du circuit de diodes ne dépend pas des conditions initiales, il n'y a qu'une seule solution stable. Contrairement à une bascule, qui a plusieurs solutions stables et peut être utilisée comme élément de mémoire (les «conditions initiales» sont une écriture en mémoire).

— Evan

2

@EugeneSh. Le fait n'est pas qu'un circuit non linéaire puisse être dans un état bien défini étant donné les conditions initiales, mais juste le contraire. Le théorème auquel l'OP se réfère garantit qu'il n'y a qu'une seule solution quelles que soient les conditions initiales , ce qui est plutôt particulier pour un circuit non linéaire.

— Lorenzo Donati - Codidact.org

3

Je suppose que c'est pour un problème artificiel où il y a un circuit avec des passifs connus et certains I et V donnés et des points marqués pour les diodes de direction inconnue. Ma réponse est:

Espérons que les créateurs des problèmes se soient limités aux cas où leurs hypothèses conduisent à leurs conclusions.

Il pourrait être théoriquement insoluble en ayant une diode étrangère; envisager de mettre à la terre les deux côtés d'une diode. Il pourrait y avoir des cas non triviaux utilisant des motifs virtuels ou d'autres tensions égales qui pourraient être difficiles à repérer.

Il pourrait sûrement exister des circuits valides qui ne diffèrent que par la direction d'une diode pour toute valeur de "circuit valide" qui comprend des diodes. Envisagez de modéliser les commutateurs à l'aide de ces règles de diode idéales, comment pouvez-vous décider si un commutateur devait être activé ou désactivé? Espérons que les courants et tensions donnés donnent suffisamment d'indices. Et j'espère qu'ils ne vous ont pas donné d'indices contradictoires.

Cela déplace la question à "Comment savoir si une instance possède suffisamment d'informations pour être unique?" Je me souviens que la réponse était quelque chose comme si vous aviez besoin d'une donnée indépendante pour chaque inconnu indépendant, mais je suis sûr que je ne pouvais pas le prouver ou trouver un test général pour l'indépendance de l'une ou de l'autre.

2

Pour les diodes idéales, il peut y avoir plusieurs solutions.

Contre-exemple trivial: Prenez n'importe quel circuit contenant des diodes idéales que vous avez résolu. Remplacez maintenant l'une des diodes idéales par, si elle est conductrice vers l'avant, une paire de diodes connectées en parallèle, ou si elle est polarisée en inverse, une paire en série, en conservant l'orientation dans les deux cas. Comment résolvez-vous la répartition du courant ou de la tension entre les deux? Vous ne pouvez pas, le modèle de diode idéal conduit à une coque convexe de solutions également valables.

— Ben Voigt
source

1

Vous étirez vraiment la définition de "circuit" ici. Deux diodes idéales à polarisation inverse en série créent un nœud isoé entre elles, et deux diodes idéales à polarisation directe en parallèle créent une boucle isolée. Cela n'est pas utile dans le contexte de la question.

— Dave Tweed

@DaveTweed: En quoi la post-modification du circuit est-elle moins un circuit qu'avant la modification?

— Ben Voigt

2

Ce n'est pas le cas, mais votre modification ne crée pas de distinction utile. Si deux diodes idéales rejoignent une paire de nœuds de circuit, la seule chose qui compte est la tension totale ou le courant total entre ces nœuds; la répartition de la tension ou du courant entre les diodes individuellement n'a aucune conséquence. Et jeter un terme non pertinent comme "coque convexe" est juste une pure technobabble.

— Dave Tweed

C'est très utile, car cela montre qu'il n'y a aucun espoir d'une preuve d'unicité sans autres hypothèses. Bien entendu, la question suivante est de savoir s'il suffit d'exclure deux diodes consécutives et deux diodes en parallèle, ou s'il existe des contre-exemples de plus grande complexité.

— Stefan

1

Je n'ai pas de preuve rigoureuse, mais l'idée générale est que tant que les composants d'un circuit ont des courbes VI qui sont des fonctions à valeur unique (cela inclut les diodes ainsi que les composants linéaires), il ne peut y avoir qu'une seule solution pour l'ensemble du circuit.

— Dave Tweed
source

Type d'induction sur une superposition. Le cas de base serait un circuit à diode unique, ce qui est facile à montrer avec une solution unique. Ensuite, l'étape d'induction pour montrer la combinaison des circuits de base a une solution unique.

— Eugene Sh.

1

Cependant, la diode idéale discutée dans l'équation n'a pas de courbe IV à valeur unique.

— Ben Voigt

@BenVoigt: Lorsque vous traitez avec des composants idéaux et les zéros et les infinis associés, vous devez être prudent. Le concept de limites est crucial: la résistance directe est infinitésimale mais pas nulle, et la conductance inverse est également infinitésimale mais pas nulle. Considérée de cette façon, l'équation est en effet à valeur unique.

— Dave Tweed

1

Je pense que c'est assez simple:

vous pouvez traiter les diodes idéales polarisées en direct comme des courts-circuits et les diodes idéales polarisées en sens inverse comme des circuits ouverts. Donc, dans tous les cas, vous obtenez des circuits avec uniquement des composants linéaires (car toutes les diodes se résolvent en circuits ouverts ou en courts-circuits) et ces circuits linéaires sont connus pour avoir exactement une solution.

— fromage blanc
source

3

Mais chacun de ces circuits aura une solution - comment prouver qu'un seul est cohérent?

— Ben Voigt

@Ben Voigt: ok, je comprends. Ce n'est pas encore prouvé (et c'est probablement le travail principal)

— Curd

1

À partir de l'entrée des lignes de charge de Wikipedia

Il n'y a qu'une seule solution unique en raison de la nature du problème. Ceci est mieux illustré graphiquement, sous la forme de lignes de charge. La diode a une équation qui décrit la relation entre le courant qui la traverse (axe y) et la tension qui la traverse (axe x). Ici, l'axe x est la tension aux bornes de la diode.

Regardez ce qui arrive au courant aux bornes de la résistance lorsque la tension aux bornes de la diode change. Si la tension est Vdd aux bornes de la diode, il n'y aurait pas de chute de tension aux bornes de la résistance, car la tension aux bornes de la résistance et de la diode doit correspondre à Vdd), et il n'y aurait donc aucun courant nul aux bornes de la résistance (loi d'Ohm). De même, s'il y avait une chute de tension nulle à travers la diode, il y aurait Vdd à travers la résistance, et le courant à travers la résistance serait Vdd / R.

Maintenant, nous savons que ce sont des situations irréalistes, car le courant dans la diode et la résistance doit être égal. Étant donné l'équation pour la résistance (linéaire) et l'équation pour la diode (non linéaire, mais monotone croissante), nous pouvons voir sur le graphique que cela ne peut se produire qu'en un point unique, l'intersection des deux courbes.

Ainsi, la solution simultanée de trois équations (la résistance, la diode et le fait que les deux courants doivent être égaux) donne une solution unique.

Cette méthode fonctionnera pour tous les éléments du circuit.

C'est un peu différent pour les diodes à courant inverse, car le courant de résistance va dans l'autre sens, et un quadrant doit être ajouté au graphique.

— Scott Seidman
source

La courbe IV de la diode que vous montrez n'est pas la courbe IV d'une diode idéale .

— Curd

@Curd: Étant donné le manque de facteurs d'échelle, c'est assez proche. Voir mon commentaire à Ben Voigt.

— Dave Tweed

1

C'est une bonne explication pour le cas avec une diode, mais mon problème réel est le cas avec plusieurs diodes.

— Stefan

1

La «preuve» de cela ne fonctionnerait que pour certains circuits. Si vous avez un gain et que les seuls éléments non linéaires sont les diodes elles-mêmes, vous pouvez avoir plusieurs états possibles. Par exemple (peut ne pas être l'exemple le plus simple possible).

Ce circuit fonctionnera avec un ampli-op parfaitement linéaire idéal et la sortie ne s'éteindra jamais à l'infini ou satura, mais avec 0V, il peut être d'environ +6 ou d'environ -6 à la sortie, avec une paire ou l'autre de diodes conductrices . Il fonctionnera également avec des diodes `` presque idéales '' qui ont une chute vers l'avant lorsqu'elles sont allumées et aucune autre non-réalité.

schématique

(et bien sûr les diodes tunnel sont un cas particulier avec leur courbe IV non monotone).

La preuve ne devrait probablement nécessiter que des éléments passifs tels que des résistances (pas de sources de courant ou de tension dépendantes). Ou peut-être seulement avec des diodes idéales avec 0V Vf.

— Spehro Pefhany
source

N'est-il pas clair que la classe de circuits dont nous parlons ici exclut tout ce qui a un gain, comme les appareils à 3 bornes ou les appareils à résistance négative?

— Dave Tweed

@DaveTweed Non, ce n'est pas le cas. La question d'origine dit «composants linéaires», ce qui n'est pas assez restrictif, du moins pour les diodes à chute directe. Les questions classiques des manuels scolaires n'ont que des sources et des résistances de tension et de courant indépendantes et des diodes idéales ou quelque peu idéales. Les circuits réels et utiles impliquent généralement des amplificateurs opérationnels, IME.

— Spehro Pefhany

Je voulais dire ce que vous décrivez comme des questions types de manuels.

— Stefan

1

Vous avez raison, la question devrait dire "passive" si cela signifie exclure les éléments actifs mais linéaires.

— Ben Voigt

0

Ce n'est pas une preuve complète, mais peut-être que cela vous mettra sur la bonne voie:

S'il existe plusieurs solutions, il y a au moins une diode qui peut être polarisée en direct ou en inverse. Prenons une telle diode. Dans une solution donnée, elle est biaisée en avant ou en inverse. Définissons les tensions à ses bornes, Va et Vb, de sorte que si elle est polarisée en sens direct, Va> = Vb, et si elle est polarisée en sens inverse, Vb> = Va. Dans le cas de polarisation directe ou inverse, le reste du Circuit (RotC) produit ces tensions aux bornes de la diode.

Puisque vous avez déclaré que le circuit est composé d'éléments linéaires et de diodes, soit le RotC est un réseau purement linéaire, soit il comprend plus de diodes.

Si le RotC est un réseau purement linéaire, il n'a qu'une seule solution, et la seule solution aux contraintes Va> = Vb et Vb> = Va est que Va = Vb.

Si le RotC comprend plus de diodes avec plusieurs solutions possibles, envisagez la diode suivante. Encore une fois, il est soit connecté à un réseau linéaire, soit à un réseau avec plus de diodes avec plusieurs solutions possibles.

Si nous supposons qu'il y a un nombre fini de diodes dans le circuit ...

— PProteus
source