Comment calculer l'augmentation de température d'un conducteur en cuivre?

Si je fais passer un courant à travers un conducteur en cuivre, comment puis-je calculer la chaleur du conducteur?

Par exemple, si j'ai une charge de 7,2 kW alimentée par 240VAC, le courant sera de 30A. Si je transmets cette puissance à la charge via un conducteur en cuivre de $2.5mm^2$ , comment calculer la chaleur de ce conducteur?

MISE À JOUR:

À partir des commentaires et des réponses d'Olin et Jason, j'ai créé le graphique suivant montrant Watts par pied de fil de cuivre de $2.5mm^2$ :

Mais comment traduire cela en augmentation de température réelle. Je comprends que la variable manquante est le taux de refroidissement, mais j'ai juste besoin de me faire une idée du courant de sécurité maximal qui peut être passé à travers un câble en cuivre d'une épaisseur donnée.

En supposant un courant constant et qu'il n'y a pas de refroidissement du tout, comment puis-je calculer les degrés d'échauffement par heure et par watt pour la longueur de pied du câble en cuivre en question?

Dans votre montage, ce qui manque, c'est que la vitesse de refroidissement dépendra de la température. En général, la vitesse de refroidissement augmentera à mesure que la température augmentera. Lorsque la température augmente suffisamment pour que la vitesse de refroidissement corresponde à la vitesse de chauffage, la température se stabilise.

Mais le taux de refroidissement réel est très difficile à calculer. Cela dépend des autres matériaux avec lesquels le cuivre est en contact (refroidissement conducteur), du flux d'air autour du conducteur, etc.

Comme complication supplémentaire, la vitesse de chauffage dépendra également de la température, car la résistance du cuivre augmentera à des températures plus élevées.

Donc, sans informations beaucoup plus détaillées sur votre conducteur et son environnement, il n'est pas vraiment possible de donner une réponse précise à votre question initiale, comment va-t-il devenir chaud?.

Quant à la deuxième question, à quelle vitesse chauffera-t-il s'il n'y a pas de refroidissement, vous pouvez le calculer à partir de la capacité thermique du cuivre, que Wikipedia donne comme 0,385 J / (g K), ou 3,45 J / (cm ^ 3 K) .

Purement théorique sans aucun refroidissement:
E ( t ) = $P=I^2*R(T)$
$E(t)=\int{P dt}$
d T = E ( t $T=T0+dT$
m=V∗densityV=l∗AR(T)=l/A∗r(T$dT=\frac{E(t)}{m*C}$
$m=V*density$
$V=l*A$
$R(T)=l/A*r(T)$

Ce qui précède peut être condensé en une approximation linéaire:
$R(T)~=l/A*(r+T*\alpha) -> R(dT)~=l/A*(r0+dT*\alpha)$

en combinant tout cela: $dT ~= \int{I^2*l/A*(r0+dT*\alpha) dt}/(l*A*density*C) = I^2/(A^2*density*C)*\int{r0+dT*\alpha dt}$

si puis d T = I 2 * r 0 * d t / ( A 2 * d e n s i t y * C $dT*\alpha << r0$$dT ~= I^2*r0*dt/(A^2*density*C)$

à moins que j'aie gâché quelque chose :) et que ça finisse par fondre

I: courant, R: résistance, P: puissance, T: température, t: temps, E: énergie, m: masse, V: volume, l: longueur, A: section transversale du fil, C: capacité calorifique du cuivre

Bien sûr, une sorte de transfert de chaleur existe toujours: conduction, convection, rayonnement. Une bonne règle de base consiste à autoriser 2,5 A / mm ^ 2 sur un fil de cuivre dans une bobine à plusieurs couches, 4..5 A / mm ^ 2 pour une seule couche (sans isolation thermique) et 8..9 A / mm ^ 2 nécessitera un refroidissement actif.

Le commentaire d'Olin a un bon début sur l'analyse quantitative, mais gardez à l'esprit que l'effet d'un watt ou deux par pied dans un fil AWG 18ga (environ 1 mm de diamètre) est assez différent d'un fil 38 g (environ 0,1 mm de diamètre). 2,5 mm ^ 2 = environ 0,89 mm de rayon 1,78 mm de diamètre = environ 13ga AWG fil qui est assez grand et un watt par pied est probablement bien, mais voyons:

La page wikipedia pour AWG = calibre de fil américain montre le "Ampacity" du fil de cuivre du National Electric Code (capacité actuelle) à plusieurs températures pour le fil isolé, et 13AWG (pas un produit standard) est à mi-chemin entre la cote 12AWG de 25A à 60C l'isolation et la cote 14AWG de 20A à une isolation évaluée à 60C, donc je suppose qu'à 30A, il deviendrait assez chaud (probablement> = 100C à 25C ambiant) sans refroidissement convectif.

La page wikipedia répertorie également la résistance au cuivre de 13AWG à 2 milliohms par pied, donc P = 2milliohms * 30A ^ 2 = 1,8 W / pied; la "cote" de 22,5 A à une isolation nominale de 60 ° C (moyenne des valeurs nominales voisines) a une dissipation de près de 1 W / pied.

Moving away from the pure calculus, just look at the manufacturers rating. Most cables are limited by the insulation material as this melts long before the cable causing catastrophic failure.

Pensez à un fil fusible. Un fil fusible de 30 A est très fin et beaucoup plus fin que le câblage de la propriété. La différence? le fil du fusible peut chauffer car il n'y a pas d'isolation et vous voulez qu'il se brise en conséquence. Les fils de distribution sont classés en tenant compte d'une multitude de conditions de fonctionnement (type de montage, matériau d'isolation, nombre de conducteurs, etc.). Tous les fabricants fourniront des conseils sur l'évaluation et la déclassification (selon la méthode d'installation et d'autres facteurs) de leurs câbles. À moins d'utiliser des barres omnibus ouvertes en cuivre, les calculs ne valent pas vraiment leur prix, la capacité en cuivre est bien supérieure à la capacité du câble. Par exemple, un fil fusible de 30 A ne fait que 0,4 mm ^ 2, mais vous ne câbleriez pas la chaudière avec cela. (soit un fil de fusible de 30 A a besoin d'environ 170 A pour se rompre en 1 seconde,

Approximation de la montée en température du fil.
AWG-- Fusible Current-- Temp hausse ° C / A
10 333- 3,258258258
12- 235- 4,617021277
14- 166- 6,536144578
16- 117- 9,273504274
18- 82- 13,23170732
20- 58.6- 18,51535836
22- 41.5- 26,14457831
24- 29,2 - 37,15753425
26 - 20,5
- 52,92682927 28 - 14,5 - 74,82758621
30 - 10,2 - 106,372549
32 - 7,3 - 148,630137
34 - 5,1 - 212,745098
36 - 3,62 - 299,7237569
38 - 2,59 - 418,9189189
40 - 1,77 - 612,9943503 Fil
nu en air libre.
Basé sur la température de fusion du cuivre = 1085C
1085 / Température de fusion = ° C / A Remarque: Isolation PVC couramment évaluée entre 60 ° et 105 °

Je comprends que la variable manquante est le taux de refroidissement, mais j'ai juste besoin de me faire une idée du courant de sécurité maximal qui peut être passé à travers un câble en cuivre d'une épaisseur donnée.

sans connaître le taux de refroidissement, il n'y a pas de réponse à votre question.

Deux choses sont à l'œuvre ici:

1) chauffage: la montée en température est proportionnelle à la puissance dissipée, donc proportionnelle au I ^ 2, et secondairement à la résistance, elle-même fonction de la température. dans une certaine fourchette, vous pourrez peut-être ignorer le 2e mandat;

2) refroidissement: il est proportionnel à la température par rapport à la température ambiante, en supposant un environnement statique.

en équilibre les deux soldes.

Donc je ^ 2 = k (T-Tambient)

k would be determined by the factors mentioned above.

To show you how important cooling is, this approach is exactly what many MAF meters use to measure air flow in cars, where T - Tambient is sensed via resistance.

for your purpose, however, there are lots of tables for you to check out instead of going through all of this pain.

How do I calculate the temperature rise in a copper conductor?

You don't. Make a test setup and measure.

Why not? Read this paper.

Si vous avez un fort désir de calculer, ce qui suit provient d'un article de l'Université impériale d'Hokkaido de 1930
intitulé: Augmentation de la température d'un conducteur due au courant électrique
Auteurs: Ikeda, Yoshiro; Yoneta, katsuhiko
Résumé:

La chaleur générée par le courant électrique est partiellement dissipée dans le milieu environnant par conduction, convection et rayonnement, et produit partiellement une élévation de température du conducteur. Il est cependant destructeur que la plupart des appareils ou machines électriques soient à une température trop élevée. Il est donc important de connaître la relation entre l'intensité du courant et l'ampleur de l'élévation de température. Nous allons maintenant traiter les phénomènes dans le plus large éventail d'applications afin d'avoir une forme exacte et simple de solution.

For the unknown values you will need to download the paper because there is 35 pages of formulas preceding this final formula.

exact and simple form of solution

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For an approximation

Although this is a 7 year old question, I thought I may contribute the approach I found inspired by some points mentioned in an application note from SIEMENS.

Steady state temperature approximation of a conductor

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+\Delta\Theta_{max}\left(\frac{I_{op}}{I_{max}}\right)^2$$

$$I_{max} :\text{maximum continuous current, } I_{op} :\text{operating current}$$ $$\Theta_{x} :\text{x temperature, }\Theta_{amb}:\text{ambient, }\Delta\Theta_{max}:\Theta\text{ rise @ }I_{max}$$

Maximum continuous operational current

Cables have specified current carrying capabilities for continuous operation. Different cable insulations allow for different maximum operational temperatures. These can be calculated following an IEC norm, but we can use either our specific cable datasheet or general ones to get a ball-park value.

• Specified here, 2 Single Core 2.5mm^2 PVC insulated cables have a current carrying capacity of 24 Amps (AC/DC) with the conductor operational temperature at 70ºC and an ambient temperature of 30ºC.

• Specified at a Nexans application note, 2 Single Core 2.5mm^2 XLPE insulated cables have a current carrying capacity of 24 Amps with the conductor operational temperature at 90ºC and an ambient temperature of 45ºC

From this data we can extract the following:

$$\text{PVC 2.5mm}^2@I_{max}=24A,\Delta\Theta_{max}=40^o\text{C, }\Theta_{op_{max}}\leq 70^oC$$ $$\text{XLPE 2.5mm}^2@I_{max}=24A,\Delta\Theta_{max}=45^o\text{C, }\Theta_{op_{max}}\leq 90^oC$$

If we assume that your cable is XLPE and in the air with a maximum ambient temperature of 25ºC:

$$\Theta_{op}=25+45\cdot\left(\frac{30}{24}\right)^2\approx 95.3^oC$$ This is above the maximum operational temperature of the XLPE insulated cable. If it is the PVC insulated one, the calculation results in >87ºC, where the insulation will probably melt. PVC at temperatures above 60ºC becomes unstable.

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Comparison to deratings ( correction factors )

If we compare the use of this formula to the deratings we can see a certain coherence;

The Application note states that for other ambient air temperatures, correction factors have to be applied for the max current capabilities:

|Amb ºC| 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 |
|Factor|1.10|1.05|1.00|0.94|0.88|0.82|0.74|0.67|0.58|0.47|

I understand that the objective is to keep the core temp below 90ºC, by limiting the max current.

Spawning from the same cable (2 Single Core 2.5mm^2 XLPE insulated cables) example the max ratings would be as follows:

|Amb ºC| 35 | 40 | 45 | 50  | 55  | 60  | 65  | 70  | 75  | 80  |
|MaxAmp|26.4|25.2|24.0|22.56|21.12|19.68|17.76|16.08|13.92|11.28|

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+45\cdot\left(\frac{I_{op}}{24}\right)^2\approx \text{steady state temp in }^oC$$

The following estimated steady state temperatures are as follows

|Amb ºC| 35  | 40  | 45  | 50  | 55  | 60  | 65  | 70  | 75  | 80  |
| Amps |26.4 |25.2 |24.0 |22.56|21.12|19.68|17.76|16.08|13.92|11.28|
|ssTemp|89.45|89.61|90.00|89.76|89.85|90.26|89.64|90.20|90.14|89.94|

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Time required to reach steady state temperature

How long it will take to reach this temperature can be estimated by considering the short-circuit current rating of the cable. Looking it up in the tables, 2.5mm^2 @ 1second short = 358 Amps.

The heating transition of the cable follows approximately the following equation:

$$\Theta_{op}=\Theta_{amb}+\Delta\Theta_{ss-amb}\left(1-e^{\frac{-t}{\tau}}\right)$$

$$\tau\text{(min)}=\frac{1}{60}\cdot\left|\frac{I_{1s-short}}{I_{max}}\right|^2=\frac{1}{60}\cdot\left|\frac{358}{24}\right|^2\approx 3.7\text{min}$$

\tau defines the time it requires to reach 63% of the final temperature. Normally we estimate that at 5*\tau we are at around 99% of the final temperature. 5*3.7 min = 18.5 minutes.

$$\tau \text{ is valid for reaching any calculated steady state conditions}$$

$$\text{Time to reach any steady state temperature} \approx 5\cdot\tau \approx 18.5\text{min}$$

$$\Delta\Theta_{ss-amb} = \Theta_{steady state}-\Theta_{amb}$$

If we plot this it looks as follows:

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ballpark/estimated demonstration

Our calculated \tau was with values: Ambient temperature 45ºC, operating temperature = 90ºC. \Delta T = 45ºC. I_max = 24 Amps

Power dissipation follows a square rule, P=I^2*R , we could extrapolate that to say that rate of temperature rise follows a similar square rule.

$$K_{\tau}\approx\left(\frac{I_{ref}}{I_{op}}\right)^2 = \left(\frac{24}{30}\right)^2 = 0.64$$

but our calculated \Delta T (temperature rise) is of 70ºC versus 45ºC.

$$K_{\Delta\Theta}\approx\frac{\Delta\Theta_{op}}{\Delta\Theta_{ref}} = \frac{70}{45} \approx 1.5556$$

applying these to our \tau as follows would give us

$$\tau_{op}=\tau_{ref}\cdot K_{\tau} \cdot K_{\Delta\Theta}=3.7\cdot 0.64\cdot 1.5556=3.68 \leadsto 5\tau = 18.4\text{ min}$$

Note that these formulas for the demo of a modified \tau was invented out of "thin air", by "feeling", by some "logical" considerations. This may be completely wrong, and if I have made an assumption that is "crazy" please do let me know so I can learn my mistake. Someday I will make some measurements to test this out.

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Resources

• Thermal Overload Protection of Cables
  • Page 47 in Siemens PTD EA - Applications for SIPROTEC Protection Relays 2005
• Mega Kabel resource A,B, C
• MyElectrical Notes on IEC60287
• Nexans Technical infosheet