Pourquoi l'intégrale est nulle

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Je me demande pourquoi en supposant que puis ? $\omega \gg \frac{1}{T}$ $\int_{0}^{T} \sin(\omega t)dt \approx 0$

Puisque l'intégrale doit être comme de à et après avoir branché la valeur, nous nous retrouverons avec: $\frac{\cos(\omega t)}{w}$ $0$ $T$

\frac{- \cos (ω T) + 1}{ω}

$\frac{-\cos(\omega T)+1}{\omega}$

communication digital-communications detection

— user59419
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Je vote pour fermer cette question hors sujet , car il ne se rapporte pas à l' électronique et est une question basée purement mathématique et devrait donc appartenir à math.stackexchange.com

— efox29

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Absolument pas. Cette estimation est utilisée dans tous les systèmes de communication et n'est pas une pure question mathématique car en termes de mathématiques, seule cette intégrale n'est pas toujours nulle

— user59419

Voulez-vous dire ?

\frac{1}{T} \int . . .

$\frac{1}{T}\int ...$

— Chu

Non, il n'y a pas de . Si est présent, cela a du sens et je l'ai vu à divers endroits.

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

\frac{1}{T}

$\frac{1}{T}$

— user59419

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Si vous parlez de télécommunications, je suppose que nous parlons de hautes fréquences. Si c'est le cas:

$\frac{1}{T} = f$
$\omega \gg \frac{1}{T}$

$−\cos(\omega T)+1$ va de à , si vous divisez cela par un grand nombre, vous obtenez environ zéro. Pour vous donner une idée: pour une fréquence autour de (qui est considérée comme "ultra basse" ), le résultat sera AU MAXIMUM . $0$ $+2$
$1\;\text{kHz}$ $0.002$

— FMarazzi
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Une bien meilleure explication que mon approche par force brute.

— Arsenal

1

Je ne pense pas que ce soit la réponse complète: il est possible que même de petites valeurs de satisfassent , si est assez grand.

ω

$\omega$

ω ≫ \frac{1}{T}

$\omega \gg \frac1T$

T

$T$

— Ilmari Karonen

1

@IlmariKaronen T n'est jamais assez grand dans les télécommunications.

— FMarazzi

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En augmentant la fréquence, nous mettons plus de périodes d'oscillation dans l'intervalle d'intégration.

Puisque l'intégrale d'un sinus sur une période est nulle, nous ne devons considérer que la période "incomplète" à la fin de l'intervalle d'intégration.

Lorsque nous augmentons la fréquence, l'aire de cette période incomplète devient de plus en plus mince (expliquant le dans le déterminateur). $\omega$

— walljam7
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3

Si je branche certaines valeurs, j'obtiens ce qui suit:

$T = 1$

$\omega \rightarrow$ résultat

$10^0 \rightarrow 0.460$

$10^1 \rightarrow 0.184$

$10^2 \rightarrow 0.001$

$10^3 \rightarrow 4.376E-04$

$10^4 \rightarrow 1.952E-04$

$10^5 \rightarrow 1.999E-05$

$10^6 \rightarrow 6.325E-08$

Maintenant, je ne sais pas quel ordre de grandeur signifie et à quel point le résultat doit être considéré , mais il a tendance à être nul s'il est beaucoup plus grand. $>>$ $\approx 0$

Quelles sont les valeurs typiques pour et T que vous regardez? $\omega$

Mise à jour (à cause des commentaires):

Comme FMarazzi l'a très bien expliqué, il y a une limite supérieure pour le cas où est -1, vous aurez donc , qui est le maximum absolu que vous obtiendrez jamais pour tout T. $\cos(\omega T)$ $\frac{2}{\omega}$

Donc, si vous choisissez la valeur de T, vous obtenez en quelque sorte le maximum pour un donné, le tableau se transforme en: $\omega$

$\omega \rightarrow$ valeur maximale possible

$10^0 \rightarrow 2$

$10^1 \rightarrow 0.2$

$10^2 \rightarrow 0.02$

$10^3 \rightarrow 2E-03$

$10^4 \rightarrow 2E-04$

$10^5 \rightarrow 2E-05$

$10^6 \rightarrow 2E-06$

Etc. Je ne sais pas dans quel contexte l'approximation est utilisée, mais comme le soulignent les commentaires, c'est pour les systèmes de communication, et je suppose que ce ne sont pas des UART à 9600 bauds mais quelque chose comme Ethernet ou des choses plus rapides, donc est de l'ordre de ou plus, pour lequel le résultat de l'intégrale devient petit et ne contribue probablement pas aux autres termes d'intérêt. $\omega$ $10^7$

— Arsenal
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Merci. Votre question a vraiment du sens et c'est exactement mon problème car la plage de T et w n'est pas donnée et seule la condition que wT >> 1 est mentionnée. Je pensais que si T = 1000 et w = 1, l'intégrale n'était pas nulle.

— user59419

Si T est arbitraire, l'aire sous sin (wt) sera généralement non nulle. Il doit y avoir une autre contrainte.

— Chu

@Chu Je ne dis pas que ce sera 0, il a tendance à être très proche de 0, si proche que, pour des raisons pratiques, il peut être négligé (il s'agit d'une simplification courante pour rendre les choses solubles pour les humains). FMarazzi a en fait donné une meilleure analyse de la limite supérieure du résultat.

— Arsenal du

1

@Arsenal, mais vous avez supposé une valeur pour T. Il n'y a pas de telle spécification dans la question d'origine - w et T sont libres d'errer. L'intégrale pourrait donc être loin de zéro

— Chu

@Chu ouais c'était un peu myope avec le recul. J'ai mis à jour ma réponse pour clarifier le point. Cela ne peut pas être loin de zéro pour les oméga supérieurs.

— Arsenal

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Dans l'équation telle qu'écrite, un plus grand se traduira en moyenne par une valeur plus petite de l'intégrale mais pas un plus grand . $\omega$ $T$

Je soupçonne qu'il faut plus de contexte pour bien comprendre ce que l'on veut dire.

En particulier, nous devons réfléchir à ce que nous entendons exactement par " ". " " devrait probablement être interprété comme "négligeable" mais ce que signifie "négligeable" dépend fortement du contexte. S'il existe une valeur associée qui augmente avec l'augmentation des valeurs de il se peut que le résultat de l'intégrale lorsque grand est grand mais est petit puisse toujours être considéré comme négligeable. $\approx 0$ $\approx 0$ $T$ $T$ $\omega$

— Peter Green
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