Calculer le nombre minimum de résistances 120Ω pour obtenir 80Ω de résistance?

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J'ai récemment dû passer un test en électronique de base. Je n'ai pas répondu correctement à une question, mais je ne comprends pas très bien pourquoi.

How many 120Ω resistors are at minimum required to get a resistance of 80Ω?

Les réponses possibles à cette question sont 2, 3, 4 and 6. La seule réponse que je peux trouver est 6, avec les résistances disposées comme vu ci-dessous. Mais ce 6n'est pas la bonne réponse.

Question:

Combien de résistances sont nécessaires et pour les disposer?

schématique

^{simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab}

Je ne connais que les bases de l'électronique, j'espère donc que mes pensées sont correctes.

resistors

— Marius Schär
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@Autistic 120 et 120 en parallèle ne seraient-ils pas 60?

— Marius Schär

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peut-être que l'autisme est artistique

— Marla

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Le nombre est trois. La déduction de la combinaison est laissée au lecteur comme exercice ... mais les possibilités sont limitées.

— Chris Stratton

2

C'est le type de problème qui peut nous vaincre tous. Parfois, la solution la plus simple se trouve devant nous. J'encourage des questions comme celle-ci. J'aime vraiment regarder dans une interview ce type de question. Martin, ne te sens pas mal. . J'ai moi-même été perdu sur ce type. Nous nous enfermons dans nos propres limites

— Marla

4

Je voulais dire 120 en parallèle avec 2 résistances de 120 ohms en série.

— Autistic

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120 || (120 + 120) Si deux 120 en parallèle donnent 60, vous voulez que l'une des branches soit un peu plus haute, alors ... c'est la prochaine chose à essayer.

Et la méthode est vraie en général pour obtenir une résistance de 2/3 en utilisant simplement un bac du même type. Et en général, pour résoudre des problèmes comme celui-ci, il convient de rappeler que la résistance équivalente de deux résistances parallèles est inférieure à celle de l'une ou l'autre des branches. Vous pouvez également obtenir 3/4 (donc 90) par exemple en en ajoutant un de plus à une branche.

NB: Grâce à l'article de Massimo Ortolano , maintenant je sais que ce que j'ai fait ci-dessus juste après l'intuition, c'est que j'ai essentiellement suivi le chemin de recherche indiqué ci-dessous dans l' arbre Stern – Brocot :

— Pétiller
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Wow, merci pour ça! Ce serait vraiment utile s'ils enseignaient cette méthode simple en classe.

— Marius Schär

10

Le but de l'éducation est souvent de déclencher la découverte, pas simplement de vous dire des choses.

— Chris Stratton

3

Aussi codegolf.stackexchange.com/questions/20438/…

— Fizz

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Une solution directe peut être trouvée grâce à l'application de fractions continues .

Si vous avez 120 Ω et que vous voulez 80 Ω, notez la fraction:

\frac{80 Ω}{120 Ω} = 0.6667

$\frac{80\Omega}{120\Omega} = 0.6667$

Puisque la partie entière est nulle, vous commencerez par mettre des résistances en parallèle. Inversez la partie fractionnaire:

\frac{1}{0.6667} = 1.5

$\frac{1}{0.6667} = 1.5$

Cela vous indique que vous aurez 1 résistance en parallèle avec un certain nombre de résistances en série. Inversez à nouveau la partie fractionnaire:

\frac{1}{0.5} = 2.0

$\frac{1}{0.5} = 2.0$

Cela vous indique que vous avez besoin de 2 résistances en série. Puisqu'il n'y a pas de partie fractionnaire à ce stade, vous avez terminé.

La réponse est un total de 3 résistances.

— Dave Tweed
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Combinaisons de résistances par fractions continues .... soignées.

— Jasen

1

Pensez-vous que cet algorithme donne la solution minimale [en nombre de résistances] en général? Il semble qu'il y ait un article récent sur le sujet, mais il semble que ce soit une revue axée sur l'éducation. Je ne vois pas la mention de la minimalité.

— Fizz

2

Aussi math.stackexchange.com/questions/14645/… Notez que la réponse acceptée est en fait incorrecte!

— Fizz

6

@RespawnedFluff: non, généralement, cela ne donne pas de solution minimale. L'utilisation de l'expansion continue des fractions donne une solution composée uniquement de combinaisons parallèles et en série, mais, en général, des solutions avec moins de résistances peuvent être trouvées en prenant également en compte les résistances connectées en pont. On peut montrer que, pour les réseaux planaires , le problème est équivalent à celui du remplissage de rectangles avec des carrés entiers . Si l'on considère alors également les réseaux non plans, des solutions avec encore moins d'éléments peuvent être trouvées.

— Massimo Ortolano

3

Aux fins d'une recherche de mots clés [meilleure], la solution indiquée par Dave est basée sur l' approximation de l'arbre Stern – Brocot d'un nombre réel. J'ai découvert cela en lisant le document de Massimo Ortolano, qui est également disponible gratuitement sur arxiv , soit dit en passant.

— Fizz

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Vous pouvez changer votre solution en échangeant série et parallèle:

schématique

^{simuler ce circuit - Schéma créé à l'aide de CircuitLab}

Vous pouvez ensuite regrouper R2, R3, R5 et R6 en un seul groupe 2x2:

schématique

^{simuler ce circuit}

$120\Omega$ $120\Omega$

schématique

^{simuler ce circuit}

— monstre à cliquet
source

1

C'est la même chose que ce que user92407 a dit 3 heures, mais avec un diagramme.

— Dave Tweed

1

Néanmoins, je trouve l'addition utile; il utilise en fait le problème de carrelage géométrique équivalent indiqué par Massimo Ortolano . Les quatre résistances qui peuvent être remplacées forment un carré [plus grand].

— Fizz

7

Prenez votre solution mais sans point central au milieu: vous pouvez le réorganiser en trois sections parallèles de 120 + 120 Ohm chacune (la connexion des points médians ne fait pas de différence car ils sont tous à la même tension). Maintenant, deux des trois sections parallèles 120 + 120 Ohm se combinent à nouveau en 120 Ohm, vous pouvez donc remplacer ces 4 résistances des deux groupes parallèles par une seule, ne laissant qu'une seule résistance de 120 Ohm parallèle à 120 + 120 Ohm.

Il existe une pléthore de solutions prouvant l'exactitude de cette solution une fois que vous l'avez. Mais ce réarrangement montre comment le trouver sans revenir aux essais et erreurs mathématiques.

— user92407
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1

En fait, cela implique des essais et erreurs [en général]. Il n'y a pas de solution connue au problème de la mosaïque minimale d'un rectangle avec des carrés entiers qui n'implique pas une recherche exhaustive. Il existe cependant quelques heuristiques qui élaguent l'arbre de la solution, mais elles ne garantissent pas une solution minimale.

— Fizz

4

En élaborant la réponse de @ RespawnedFluff, une façon de trouver cela est de penser de la manière suivante:

Quelles résistances ai-je, ok 120.
Que dois-je faire, 80
Quelles équations connaissons-nous? Eh bien les deux résistances en série ou en parallèle sont les points de départ les plus simples. De toute évidence, la série n'aide pas immédiatement - cela augmenterait la résistance, pas la réduirait. Nous devrons donc essayer en parallèle. Nous connaissons les équations:

\frac{1}{R_{p}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} = \frac{R_{1} + R_{2}}{R_{1} R_{2}}

$\frac{1}{R_p}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}=\frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$

Alors commençons peut-être par ça:

\begin{aligned} \frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}} & = 80 \\ 80 R_{1} + 80 R_{2} & = R_{1} R_{2} \\ R_{2} & = \frac{80 R_{1}}{R_{1} - 80} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} &= 80\\\\ 80R_1 + 80R_2 &= R_1 R_2\\\\ R_2 &= \frac{80R_1}{R_1-80} \end{align}$

$R_1=120$ $R_2$
$R_2$ $R_1$ $R_2$

Cette approche est assez itérative, mais dans ce cas, elle aurait rapidement trouvé à la fois la réponse que vous avez obtenue (en utilisant 6 résistances), ainsi que la réponse @RespawnedFluff obtenue (en utilisant 3 résistances).

$180\Omega$ $120\Omega$ $60\Omega$

$R_2$ $R_2$

— Tom Carpenter
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Correction de ma réponse. J'avais totalement foiré mon explication.

— Tom Carpenter

Si une branche de résistance est fixée, cela est facile à résoudre (ou à déterminer qu'il n'y a pas de solution [entière]). Je ne sais toujours pas comment résoudre même avec deux branches, peu importe en général. C'est une équation diophantienne plus compliquée.

— Fizz

Le problème est probablement NP-complet en ce qui concerne l'énumération: arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1004/1004.3346.pdf

— Fizz

1

Résistance de base en série et résistance en logique parallèle. Très simple..

\frac{1}{R p} = \frac{R 1 + R 2}{R 1 \cdot R 2}

$\frac{1}{Rp} = \frac{R1+R2}{R1\cdot R2}$

R p = \frac{R 1 \cdot R 2}{R 1 + R 2}

$Rp = \frac{R1\cdot R2}{R1+R2}$

R p = 80 Ω

$Rp = 80\Omega$

$R1 = 120\Omega$

$R2 = 240\Omega$

Mais nous ne pouvons pas utiliser ici une résistance de 240Ω car il est dit que nous n'avons que des résistances de 120Ω. Ainsi, au lieu de 240Ω, nous utiliserons 120Ω + 120Ω (en série) en parallèle avec une seule résistance de 120Ω.

— Rohit Dani
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C'est la même chose que Tom Carpenter a dit 11 heures plus tôt. Essayons d'éviter la duplication des réponses.

— Dave Tweed