Analyse du filtre coupe-bande actif Twin-T

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Quelqu'un pourrait-il me donner une indication dans l'analyse du filtre coupe-bande actif Twin-T? J'ai essayé une transformation étoile-triangle, suivie d'une analyse nodale, mais j'ai fini avec des équations contradictoires. Pour un exemple, regardez la figure 1 de la note d'application de Texas Instruments " Une collection de circuits audio, partie 2 ":

entrez la description de l'image ici

Dans l'exemple plus général que j'étudie, je supprime C4 / C5 et R6 / R7 (et ce Vcc) et je traite les composants passifs T comme des conductances adaptées comme suit:

R1 et R2 deviennent Y1, R3 devient 2Y1, C1 et C2 deviennent Y2, C3 devient 2Y2, R4 et R5 diviseur de tension générique avec résistances R1 et R2

audio operational-amplifier filter

— George
source

Cela ressemble à une question qui, selon dsp.stackexchange.com , devrait y figurer. Qu'en pensent les autres?

— Kellenjb

@Kellenjb - C'est aussi sur le sujet ici, mais pourrait obtenir une meilleure réponse là-bas. Si l'OP ou les DSP veulent qu'il migre, nous pouvons le faire - cela pourrait certainement faire l'objet d'un peu plus d'attention. Alternativement, rédigez un schéma et téléchargez l'image pour la transférer sur la première page où elle devrait attirer plus d'attention .... vous ne savez pas comment elle a été manquée la première fois.

— Kevin Vermeer

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La transformation Delta-Star peut être utilisée pour analyser le réseau Twin-T en utilisant la procédure suivante:

Les deux réseaux T peuvent être convertis en réseaux Delta jumeaux en parallèle:
Condenser ces deux réseaux Delta en un seul réseau Delta
Convertissez le réseau Delta résultant en un réseau T.
Pour voir le comportement d'entaille du jumeau passif T, supposez que le nœud 2 est lié à la terre et traitez le réseau Delta que vous avez obtenu à l'étape 3 comme un diviseur de tension.

Vous trouverez une fonction de transfert de .
$H (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} + {ω_{0}}^{2}}$ $H(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0 + {\omega_0}^2}$
Pour voir l'effet du bootstrap, supposons que le nœud 2 est maintenu à une tension α Vout, où α est un facteur d'échelle compris entre 0 et 1. Le réseau T agit toujours comme un diviseur de tension, divisant entre Vin et α Vout. Pour trouver le comportement du système, nous devons résoudre l'équation , où est la fonction de transfert sans rétroaction. Ce faisant, nous trouvons une nouvelle fonction de transfert: . Notez que pour (pas de rétroaction), nous avons , comme prévu. Pour
$v_{out} = α \cdot v_{out} + H (s) (v_{in} - α \cdot v_{out})$ $v_\textrm{out} = \alpha \cdot v_\textrm{out} + H(s) ( v_\textrm{in} - \alpha\cdot v_\textrm{out} )$ $H (s) = Z_{2} / (Z_{1} + Z_{2})$ $H(s)=Z_2/(Z_1 + Z_2)$ $G (s) = \frac{1}{(1 - α) \frac{1}{H (s)} + α}$ $G(s) = \frac{1}{(1-\alpha)\frac{1}{H(s)} + \alpha}$ $\alpha=0$ $G(s)=H(s)$ $\alpha=1$ , le système devient instable. En traçant cette fonction pour des valeurs d'alpha entre 0 et 1, nous trouvons une énorme augmentation du Q de l'encoche.

La fonction de transfert résultante est: .

G (s) = \frac{s^{2} + {ω_{0}}^{2}}{s^{2} + 4 s ω_{0} (α - 1) + {ω_{0}}^{2}}

$G(s) =\frac{s^2 + {\omega_0}^2}{s^2 + 4s\omega_0(\alpha - 1) + {\omega_0}^2}$

Voici à quoi ressemble la réponse en fréquence, lorsque le gain de rétroaction est modifié: $\alpha$

L'algèbre des différentes transformations est un peu fastidieuse. J'ai utilisé Mathematica pour le faire:

(* Define the delta-star and star-delta transforms *)

deltaToStar[{z1_,z2_,z3_}]:={z2 z3, z1 z3, z1 z2}/(z1+z2+z3)
starToDelta[z_]:=1/deltaToStar[1/z]

(* Check the definition *)
deltaToStar[{Ra,Rb,Rc}]

(* Make sure these transforms are inverses of each other *)
starToDelta[deltaToStar[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify
deltaToStar[starToDelta[{z1,z2,z3}]]=={z1,z2,z3}//FullSimplify

(* Define impedance of a resistor and a capacitor *)
res[R_]:=R
cap[C_]:=1/(s C)

(* Convert the twin T's to twin Delta's *) 
starToDelta[{res[R], cap[2C], res[R]}]//FullSimplify
starToDelta[{cap[C], res[R/2], cap[C]}]//FullSimplify

(* Combine in parallel *)
1/(1/% + 1/%%)//FullSimplify

(* Convert back to a T network *)
deltaToStar[%]//FullSimplify

starToVoltageDivider[z_]:=z[[2]]/(z[[1]]+z[[2]])
starToVoltageDivider[%%]//FullSimplify

% /. {s-> I ω, R ->  1/(ω0 C)} // FullSimplify

— nibot
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Voici une façon de procéder: le filtre coupe-bande avec rétroaction est un peu plus compliqué, pour le moment, je vais simplement vous expliquer comment faire la forme générale du filtre coupe-bande twin-T:

entrez la description de l'image ici

Pour résoudre le circuit en utilisant une analyse nodale, ce qu'il faut faire est de convertir la source de tension Vin en sa source Norton équivalente - c'est un peu délicat, car vous devez convertir Vin en deux sources Norton pour tenir compte de R1 et C1, puis réorganiser le circuit pour compenser . Comme ça:

version source actuelle

Les points 1, 2 et 3 sont affichés dans leurs nouvelles positions sur le circuit équivalent. Vous devriez alors être en mesure de noter les équations KCL par inspection et de créer une matrice augmentée 3 par 3 dans les inconnues V1, V2 et V3. Vous pouvez ensuite résoudre pour V2 / Vo en termes de Vin en utilisant la règle de Cramer.

$Vo*\alpha$

Modifier: premier diagramme corrigé

— Bitrex
source