Poteaux et tracés de Bode

J'ai trois questions qui me préoccupent depuis longtemps:

1. Nous disons que, dans un tracé de Bode, il y a une baisse de gain de 20 dB par décennie chaque fois qu'un pôle est rencontré. Mais les pôles ne sont-ils pas définis comme les valeurs de $s$ qui rendent la fonction de transfert infinie? Alors pourquoi le gain n'augmente-t-il pas à ce stade au lieu de baisser?

2. Physiquement, que se passe-t-il lorsque nous alimentons un système avec une fréquence polaire?

3. Considérons également une fonction de transfert . Le système a un pôle à s = ( - 2 + j 0 ) . Autrement dit, pour le pôle, σ = - 2 et ω = 0 . Mais lorsque nous appliquons un signal sinusoïdal à son entrée et dessinons le tracé de Bode, pourquoi disons-nous qu'il y a un pôle à 2 rad / sec (même si, pour le pôle, ω = 0 et σ = - 2 )?$1/(s+2)$$s=(-2+j0)$$\sigma=-2$$\omega=0$$\omega=0$$\sigma =-2$

Le tracé de Bode n'est pas un graphique qui trace la fonction de transfert ( ) par rapport à s . H ( s ) est une fonction complexe et son tracé de magnitude représente en fait une surface dans le système de coordonnées cartésiennes. Et cette surface aura des pics allant à l'infini à chaque pôle comme le montre la figure:$H(s)$$s$$H(s)$

Le tracé de Bode est obtenu en substituant d'abord dans H ( s ) puis en le représentant sous forme polaire H ( j ω ) = | H ( ω ) | ∠ ϕ ( ω ) . H ( ω ) donne le diagramme de magnitude et ϕ ( ω ) donne le diagramme de phase.$s= j\omega$$H(s)$$H(j\omega) = |H(\omega)|\angle\phi(\omega)$$H(\omega)$$\phi(\omega)$

Le diagramme de magnitude de Bode est l'approximation asymptotique de l'amplitude de la fonction de transfert ( ) en fonction du logarithme de fréquence en radians / sec ( log 10 | ω | ) avec | H ( s ) | (exprimé en dB) sur l'axe des y et log 10 | ω | sur l'axe des x.$|H(\omega)|$$\log_{10}|\omega|$$|H(s)|$$\log_{10}|\omega|$

Venant aux questions:

1. Aux pôles, la surface complexe de pics à l'infini non | H ( ω ) | .$|H(s)|$$|H(\omega)|$

2. Lorsqu'un système est alimenté en fréquence polaire, la sortie du coparrainant aura la même fréquence mais l'amplitude et la phase changeront. La valeur peut être déterminée en substituant la fréquence en radians / sec dans et ϕ ( ω ) respectivement.$|H(\omega)|$$\phi(\omega)$

3. Un pôle à -2 rad / sec et 2 rad / sec a le même effet sur . Et notre intérêt est dans la réponse en fréquence. Nous n'en avons donc besoin que d'une partie positive.$|H(\omega)|$

En essayant de comprendre les fonctions de transfert, je pense que "l'analogie de la feuille de caoutchouc" est très utile. Imaginez une feuille de caoutchouc élastique recouvrant le plan complexe , et imaginez qu'à chaque zéro de la fonction de transfert, la feuille est collée au sol, et à chaque pôle il y a un pôle mince littéral poussant la feuille de caoutchouc vers le haut. L'amplitude de la réponse en fréquence est la hauteur de la feuille de caoutchouc le long de l' axe j ω .$s$$j\omega$

1. De l'analogie ci-dessus, bien sûr, le gain monte vers le pôle. Mais en s'éloignant du pôle, la contribution du pôle fait baisser la fonction de transfert (par exemple aller vers le zéro suivant). Imaginez le système simple que vous avez donné comme exemple dans votre troisième question. Il a un pôle de valeur réelle à , et - en raison de ce pôle - il a également un zéro à s 0 = ∞ . Ainsi, en s'éloignant du pôle avec une fréquence croissante, la fonction de transfert diminue car la feuille de caoutchouc est clouée au sol à l'infini. Mathématiquement, c'est aussi facile à voir: H ( s ) = $s_{\infty}=-2$$s_0=\infty$

   $$H(s)=\frac{1}{s+2}\Longrightarrow \left|H(j\omega)\right|^2=\frac{1}{\omega^2+4}=\frac14\frac{1}{\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1}$$ $$10\log_{10}\left|H(j\omega)\right|^2=-10\log_{10}(4)-10\log_{10}\left[\left(\frac{\omega}{2}\right)^2+1\right]\tag{1}$$ For $\omega\gg 2$ the second term on the right-hand side of (1) can be approximated by $$-10\log_{10}\left(\frac{\omega}{2}\right)^2=-20\log_{10}(\omega/2)$$ which is a straight line with a slope of $-20\,\text{dB}$ per decade.

2. When you excite a system with a signal corresponding to one of its poles, then this input signal is "amplified" compared to input signals with other frequencies. Note, however, that for a stable system the output signal will always decay. E.g. if you excite the system with transfer function $H(s)=\frac{1}{s+2}$ with an input signal $x(t)=e^{-2t}$, then the output will be $y(t)=te^{-2t}$, where the factor $t$ corresponds to the system's "amplification" of the input signal. However, the exponential factor will make the signal approach $0$ for large values of $t$.

3. In short, we don't say that there's a pole at $2$ rad/s, because there isn't. What is indeed the case is that the cut-off frequency is determined by the real part of the pole, i.e. the starting point of the line with negative slope in the Bode plot is determined by the value $2$. This is the example I gave in point 1 above, where the straight line approximation with $-20$ dB per decade is valid for $\omega\gg 2$. The value $2$ is not determined by the pole frequency (which is zero) but by the real part of the pole.

The graph shows the difference between the natural frequency in the complex $s$-plane (infinite) and the corresponding magnitude peak along the $j\omega$ axis which can be observed during measurements: The graph belongs to a natural frequency of $\omega_p=1000$ rad/s and a pole quality factor $Q_p=1.3$ (which is a measure of the observable gain peaking). This plot visualizes a 2nd-order Chebyshev characteristics with 3 dB ripple in the passband.

The "s" in your equations is the constant in the function exp(s*t). So, when s is a real number, this time function is an exponentially growing or falling function. Your example with s=-2 is an exponentially falling function. For any pole "number", the output will grow when you apply an input at that "number". If you apply an exponentially falling signal to your example circuit, the output signal will go to infinity. (Note, however, that it is not possible to generate a signal that is always exponentially falling, because such a signal is very large at times in the past). When you talk of frequencies like 2 radians/sec, you are speaking of poles at j*2, not 2, so those signals are sinusoidal. It is possible to generate signals that are sine waves (at least for a pretty long time). You will get infinities out if you apply this sine wave signal to a system with a pole at +-j*2, but not if you apply it to a system with a pole at -2.