Fréquences négatives: qu'est-ce que c'est?

Je sais que lorsque la fréquence est 0, la tension sera pure DC. Mais dans le DSP et la communication numérique, j'ai vu parler de fréquences négatives que je ne comprends pas très bien. Par exemple, comme à plage de fréquences. Comment la fréquence pourrait-elle devenir négative?$-f_{0}$$f_{0}$

La dérivation de

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \left(e^{j\omega t} + e^{-j\omega t}\right)$

est très agréable et tel (merci, Mark), mais ce n'est pas très intuitif.
Un sinus peut être présenté dans le plan complexe comme un vecteur tournant:

Vous pouvez voir comment le vecteur se compose d'une partie réelle et d'une partie imaginaire. Mais ce que vous voyez lorsque vous regardez le signal sur votre oscilloscope est un vrai signal, alors comment pouvez-vous vous débarrasser de la partie imaginaire, de sorte que le vecteur reste sur l'axe des x, augmentant et diminuant? La solution consiste à ajouter une image miroir du vecteur tournant, tournant dans le sens horaire plutôt que dans le sens antihoraire.

Les parties imaginaires ont la même ampleur, mais des signes opposés, donc lorsque vous ajoutez les deux vecteurs, les parties imaginaires s'annulent, laissant un signal purement réel.
Si la rotation dans le sens antihoraire représente la fréquence positive, la rotation dans le sens horaire doit représenter la fréquence négative.

Cela ne peut pas en réalité.

Une réponse complète prendrait un manuel complet, mais la réponse de base est:

$e^{j\omega t}$

Cela conduit à la formule d'Euler:

$e^{j\omega t} = cos(wt) + j \cdot sin(\omega t)$

Ce qui conduit à son inverse:

$cos(\omega t) = \frac{1}{2} \cdot (e^{j\omega t} + e^{-j\omega t})$

Ce qui implique que la fréquence positive et négative est présente, c'est là qu'elle apparaît dans la discussion sur le traitement du signal.

La façon dont je le vois:

$e^{i\omega t}$

Il peut également être dessiné de manière moins intuitive comme ceci (côté gauche), et a un spectre unilatéral comme celui-ci (côté droit):

La fréquence négative signifie simplement que l'hélice tourne dans le sens opposé et que le spectre est une fonction delta du côté négatif de l'axe des fréquences.

Si vous ajoutez une sinusoïde complexe de fréquence positive avec une fréquence identique mais négative, les parties imaginaires contrarotatives s'annulent et cela produit une véritable onde sinusoïdale.

Dans ce cas, il est inutile de parler d'une onde sinusoïdale avec une fréquence négative, car une onde sinusoïdale contient à la fois des fréquences positives et négatives.

(J'aimerais vraiment en faire de meilleures illustrations, au lieu de copier ces vieilles images de mauvaise qualité, mais j'ai essayé et ce n'est pas facile. Je pense que le diagramme 3D des spectres ci-dessus est en fait faux. Le delta les fonctions doivent être parallèles au plan réel / imaginaire et perpendiculaires à l'axe des fréquences.)