Pourquoi l'onde sinusoïdale est-elle préférée aux autres formes d'onde?

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Pourquoi les scientifiques ont-ils choisi d'utiliser l'onde sinusoïdale pour représenter le courant alternatif et non d'autres formes d'onde comme le triangle et le carré?

Quel avantage le sinus offre-t-il par rapport aux autres formes d'onde pour représenter le courant et la tension?

ac sine

— Rookie91
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Personne n'a "choisi" ces formes d'ondes, c'est ce qui apparaît naturellement dans les générateurs.

— PlasmaHH

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Je vous suggère de voir comment ces choses fonctionnent: en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator et si vous pouvez en construire un qui me donne un triangle ou une onde carrée, j'aimerais en avoir un s'il vous plaît.

— PlasmaHH

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Fourier a compris que n'importe quel signal / forme d'onde peut être décrit comme un certain nombre de sinus superposés.

— HKOB

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@PlasmaHH Il est possible de construire des générateurs pour des formes d'onde autres que sinusoïdales. Il suffit de regarder l'arrière EMF d'un BLDC, qui est trapézoïdal (dans le cas commun). Mais oui, sans effort supplémentaire, une onde sinusoïdale est exactement ce que vous obtenez facilement.

— Roland Mieslinger

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@Plutoniumsmuggler C'est exactement ce que j'ai dit! Vous avez affirmé que chaque fonction peut être représentée comme une série de Fourier; J'ai corrigé cela pour chaque fonction périodique. (Et, en fait, vous devez probablement restreindre encore plus, y compris une notion appropriée de continuité et de différentiabilité.)

— David Richerby

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Le mouvement circulaire produit naturellement une onde sinusoïdale: -

entrez la description de l'image ici

C'est juste une chose très naturelle et fondamentale à faire et essayer de produire des formes d'onde différentes est soit plus compliqué, soit conduit à des effets secondaires indésirables.

entrez la description de l'image ici

Le mouvement de haut en bas (dans la nature) produit une onde sinusoïdale contre le temps: -

entrez la description de l'image ici

— Andy aka
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Nice piccys Andy, les règles SHM. (+1)

— JIm Dearden

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oscillation harmonique FTW

— vaxquis

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IIRC le mouvement du ressort est seulement approximativement par une onde sinusoïdale, et l'approximation n'est bonne que pour les petites déviations. Mais le cas de rotation est exactement la raison pour laquelle le courant alternatif est sinusoïdal. + 1`

— Ben Voigt

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Si vous me le permettez, j'aimerais ajouter que puisque les sinusoïdes sont fondamentales, vous pouvez construire d'autres formes d'onde à partir de celles-ci; Série de Fourier et transformation, n'importe qui?

— Sergiy Kolodyazhnyy

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Les sinusoïdes sont également spéciales en ce qu'elles se différencient et s'intègrent dans d'autres sinusoïdes.

— Roman Starkov

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Les ondes cosinusoïdes et sinusoïdales (en fait leurs constituants sous la forme d'exponentielles complexes) sont les fonctions propres des systèmes linéaires invariants dans le temps, ayant une réponse système dépendante du temps de Si vous construisez un réseau à partir de composants passifs linéaires (résistances, inductances, condensateurs sur ce StackExchange) et que vous l'alimentez avec un signal sinoidal continu, alors n'importe quel point du réseau fournira un signal sinoidal continu de phase et d'amplitude éventuellement différentes.

\begin{aligned} F (une (t) + b (t), t_{0}) & = F (une (t), t_{0}) + F (b (t), t_{0}) & linéarité \\ F (une (t + h), t_{0}) & = F (une (t), t_{0} + h) & invariance temporelle \end{aligned}

$\begin{align}f\bigl(a(t)+b(t),t_0\bigr)&= f\bigl(a(t),t_0\bigr)+f\bigl(b(t),t_0\bigr)&&\text{linearity}\\ f\bigl(a(t+h),t_0\bigr)&=f\bigl(a(t),t_0+h\bigr)&&\text{time invariance}\end{align}$

Aucune autre forme d'onde ne sera généralement conservée car la réponse sera différente pour différentes fréquences d'entrée, donc si vous décomposez une entrée dans ses composants sinoïdes de fréquence unique, vérifiez les réponses individuelles du réseau à celles-ci et réassemblez les signaux sinoïdaux résultants, le résultat n'aura généralement pas les mêmes relations entre ses composants sinoïdes qu'à l'origine.

L'analyse de Fourier est donc assez importante: les réseaux passifs répondent directement aux signaux sinoïdes, donc tout décomposer en sinoïdes et inversement est un outil important pour analyser les circuits.

— user66031
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N'est-ce pas un argument circulaire? Si vous décomposiez l'entrée en un autre type de composant (ondes triangulaires par exemple), vous obtiendriez des résultats différents.

— Random832

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@ Random832 Non, l'entrée d'onde sinusoïdale vers un réseau RCL passif donne toujours une sortie d'onde sinusoïdale (atténuée et déphasée d'une quantité différente selon la fréquence.) Pour voir pourquoi, voir la résonance mécanique montrée dans la réponse d'Andy Aka, dont la résonance électrique est un analogue direct. L'entrée triangle ne donne pas de sortie triangle. L'analyse de Fourier nous indique qu'une onde triangulaire est composée des amplitudes, fréquences suivantes: a, fa / 3,3f, a / 5,5f etc. Si nous décomposons le triangle en ces ondes sinusoïdales et les analysons séparément, nous pouvons les additionner ensemble et voyez quelle forme d'onde le circuit va produire.

— Level River St

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@ Random832 Si vous essayez d'analyser les entrées et sorties d'un système RCL avec des ondes triangulaires par exemple, vous trouverez une réponse non linéaire. Avec les ondes sinus / cosinus, vous obtenez une réponse linéaire, c'est important.

— Aron

@Aron: Lié à cela est le fait que l'addition de deux ondes sinusoïdales avec la même fréquence mais une phase qui diffère d'une quantité inférieure à 180 degrés produira une onde sinusoïdale de la même fréquence et une phase intermédiaire. Cependant, l'addition de deux signaux de phase de fréquence d'adaptation différente de la plupart des autres types d'ondes produira une forme d'onde qui n'est pas similaire à l'original.

— supercat

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Les choses oscillent selon le sinus et le cosinus. Mécanique, électrique, acoustique, vous l'appelez. Accrochez une masse à un ressort et il rebondira de haut en bas à sa fréquence de résonance selon la fonction sinus. Un circuit LC se comportera de la même manière, juste avec des courants et des tensions au lieu de la vitesse et de la force.

Une onde sinusoïdale se compose d'une seule composante de fréquence, et d'autres formes d'onde peuvent être créées en additionnant plusieurs ondes sinusoïdales différentes. Vous pouvez voir les composantes de fréquence d'un signal en le regardant sur un analyseur de spectre. Puisqu'un analyseur de spectre balaie un filtre étroit sur la gamme de fréquences que vous regardez, vous verrez un pic à chaque fréquence que contient le signal. Pour une onde sinusoïdale, vous verrez 1 pic. Pour une onde carrée, vous verrez les pics af, 3f, 5f, 7f, etc.

Le sinus et le cosinus sont également la projection de choses qui tournent. Prenez un générateur AC, par exemple. Un générateur AC fait tourner un aimant à côté d'une bobine de fil. Lorsque l'aimant tourne, le champ qui frappe la bobine en raison de l'aimant varie en fonction du sinus de l'angle de l'arbre, générant une tension aux bornes de la bobine qui est également proportionnelle à la fonction sinus.

— alex.forencich
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Merci @ alex.forencich donc le sinus et le cosinus font partie des actions fondamentales qui nous entourent.

— Rookie91

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Peut-être pourriez-vous inclure dans votre réponse que les ondes de fréquence plus élevées ne sont généralement pas souhaitables , car cela conduit à plus de pertes capacitives et inductives, ainsi qu'à plus de bruit (car il y a plus de fréquences plus élevées) qui doit être filtré par les alimentations (par exemple dans votre configuration hi-fi).

— Sanchises

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Remarque: le sinus et le cosinus sont si fondamentaux car ils apparaissent naturellement dans les équations différentielles, et de nombreuses facettes de l'univers sont bien modélisées par des équations différentielles (y compris E&M, ressorts, etc.)

— Cort Ammon - Reinstate Monica

sur le deuxième point - le concept de composantes de fréquence (vs périodicité) n'a de sens que lorsque vous commencez avec un ensemble orthogonal de formes d'onde à utiliser comme référence - je pense qu'une onde sinusoïdale peut être visualisée avec différentes composantes de fréquence d'ondes triangulaires - la l'onde sinusoïdale y est spéciale en raison des propriétés de linéarité, de sorte que nous pouvons décomposer un signal en sinus et l'appliquer à un réseau passif (un système linéaire)

— user3125280

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Ce n'est pas parce que vous pouvez décomposer une forme d'onde en un ensemble d'une forme d'onde différente que cette autre forme d'onde est en quelque sorte plus «fondamentale». Il est certainement possible de décomposer les ondes sinusoïdales en autre chose. Cependant, les circuits électroniques se comportent en termes d'oscillations et d'ondes sinusoïdales. Si vous construisez un filtre passe-bas de 100 Hz et y mettez une onde carrée de 50 Hz, vous obtiendrez une onde sinusoïdale de 50 Hz de l'autre côté. Pas une onde carrée ou une onde triangulaire. C'est pourquoi les ondes sinusoïdales sont fondamentales.

— alex.forencich

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D'un point de vue plus mathématique et physique, pourquoi le sinus et le cosinus sont les principes fondamentaux des vagues peuvent avoir leurs racines dans le théorème et le calcul de Pythagore.

Le théorème de Pythagore nous a donné cette gemme, avec des sinus et des cosinus:

{s je n}^{2} (t) + {c o s}^{2} (t) = 1, t \in R

$\mathrm{sin}^2(t) + \mathrm{cos}^2(t) = 1, t \in \mathbb{R}$

Cela a fait que les sinus et les cosinus s'annulent mutuellement dans les lois des carrés inverses qui se dispersent dans le monde entier de la physique.

Et avec le calcul, nous avons ceci:

\frac{ré}{ré X} s je n X = c o s X

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{sin}x = \mathrm{cos}x$

\frac{ré}{ré X} c o s X = - s je n X

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{cos}x = -\mathrm{sin}x$

Cela signifie que toute forme d'opération de calcul préserverait les sinus et les cosinus s'il y en a parfaitement un.

Par exemple, lorsque nous résolvons la position instantanée de l'objet dans la loi de Hooke (forme similaire partout aussi), nous avons ceci:

- k X = F = m \frac{{ré}^{2}}{ré t^{2}} X

$-kx = F = m\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}x$

$x=\mathrm{sin}(t)$

— Maxthon Chan
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+0.(9); aussi, IMO, il convient de noter que la résolution de la plupart des équations différentielles couramment utilisées (équations d'onde, équations de chaîne, équations de fluide) nécessite une x=e^(lambda*t)substitution, ce qui crée plus tard une solution qui peut être mise en x = A*sin(lambda*t) + B*cos(lambda*t)forme, forçant essentiellement une expansion sinus / cosinus dans les solutions de ces équations.

— vaxquis

x = A s i n (λ t) + B c o s (λ t)

$x=A\mathrm{sin}(\lambda t)+B\mathrm{cos}(\lambda t)$

x = f (s i n (g (t)))

$x=f(\mathrm{sin}(g(t)))$

Oui, exactement. Ils peuvent également être exprimés en cosinus; Je viens de le souligner, car il montre clairement que les trois formes (sinus, cosinus, sinus + cosinus) sont équivalentes et, en fait, sont utilisées de manière interchangeable, en fonction des besoins et du contexte, comme on peut le voir, par exemple sur en.wikipedia .org / wiki / Harmonic_oscillator ou en.wikipedia.org/wiki/Wave_equation .

— vaxquis

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Les scientifiques n'ont pas choisi l'onde sinusoïdale, c'est ce qu'ils ont obtenu d'un générateur AC. Dans le générateur AC, une onde sinusoïdale est générée en raison du mouvement du rotor à l'intérieur d'un champ magnétique. Il n'y a pas de moyen facile de faire autrement. Voir cette figure dans Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Single-phase_generator#Revolving_armature

— obaej
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Les ondes sinusoïdales ne contiennent qu'une seule fréquence. Une onde carrée ou triangulaire est une somme d'une quantité infinie d'ondes sinusoïdales qui sont des harmoniques de la fréquence fondamentale.

La dérivée d'une onde carrée parfaite (a un temps de montée / descente nul) est infinie lorsqu'elle passe de faible à élevée ou vice versa. La dérivée d'une onde triangulaire parfaite est infinie en haut et en bas.

Une conséquence pratique de cela est qu'il est plus difficile de transférer un signal carré / triangle, disons sur un câble par rapport à un signal qui n'est qu'une onde sinusoïdale.

Une autre conséquence est qu'une onde carrée a tendance à générer beaucoup plus de bruit rayonné qu'une onde sinusoïdale. Parce qu'il contient beaucoup d'harmoniques, ces harmoniques peuvent rayonner. Un exemple typique est l'horloge d'une SDRAM sur un PCB. S'il n'est pas acheminé avec soin, il générera beaucoup d'émissions rayonnées. Cela peut entraîner des échecs dans les tests CEM.

Une onde sinusoïdale peut également rayonner, mais alors seule la fréquence de l'onde sinusoïdale rayonnerait.

— Reidar Gjerstad
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On pourrait dire que les ondes carrées ne contiennent qu'une seule fréquence. Une onde sinusoïdale est une somme d'une quantité infinie d'ondes carrées.

— jinawee

@jinawee Vous pourriez, mais il y a d'autres choses qui font des ondes sinusoïdales le type d'onde "fondamental". Par exemple, c'est le seul qui se différencie en lui-même (sans tenir compte du déphasage). Bien que l'explication physique des systèmes à ressorts oscillants soit celle que je préfère.

— Roman Starkov

@jinawee, pourriez-vous prouver cela, s'il vous plaît?

— Eric Best

@EricBest Je ne connais pas la preuve, mais je faisais référence aux fonctions de Walsh en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function qui sont une base de Hilbert sur l'intervalle [0,1]. Bien sûr, certaines sous-subtilités peuvent survenir telles que l'égalité jusqu'à un ensemble de mesures zéro ou des trucs comme ça.

— jinawee

@jinawee: Le fait de placer une onde sinusoïdale dans un système linéaire produira soit une onde sinusoïdale de la même fréquence, soit un courant continu (qui peut être considéré comme une onde sinusoïdale de la même fréquence mais d'amplitude nulle). Mettre une somme d'ondes sinusoïdales à travers un tel système donnera le même résultat que de passer chaque onde individuellement et d'ajouter les sorties. La combinaison de ces deux propriétés est unique aux ondes sinusoïdales.

— supercat

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Tout d'abord, les fonctions sinus et cosinus sont uniformément continues (donc il n'y a pas de points discontinus nulle part dans leur domaine) et infiniment différenciables sur toute la ligne Réelle. Ils sont également facilement calculés au moyen d'une extension de la série Taylor.

Ces propriétés sont particulièrement utiles pour définir l' expansion de la série de Fourier des fonctions périodiques sur la ligne réelle. Ainsi, les formes d'onde non sinusoïdales telles que les ondes carrées, en dents de scie et triangulaires peuvent être représentées comme une somme infinie de fonctions sinusoïdales. Ergo, l'onde sinusoïdale constitue la base de l'analyse harmonique et est la forme d'onde la plus simple mathématiquement à décrire.

— LapToppin
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Nous aimons toujours travailler avec des modèles mathématiques linéaires des réalités physiques à cause de sa simplicité de travail. Les fonctions sinusoïdales sont des «fonctions propres» des systèmes linéaires.

$\sin(t)$
$A\cdot\sin(t + \phi)$

La fonction reste la même et n'est mise à l'échelle qu'en amplitude et décalée dans le temps. Cela nous donne une bonne idée de ce qui arrive au signal s'il se propage à travers le système.

— Axel Vanraes
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Merci @Axel Vanraes pour votre précieuse contribution, je l'apprécie beaucoup.

— Rookie91

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Sine / Cosine sont des solutions d'équations différentielles linéaires du second ordre.

sin '= cos, cos' = - sin

Les éléments électroniques de base comme inductances et condensateurs produisent soit une intégration d'une différenciation du courant en tension.

En décomposant des signaux arbitraires en ondes sinusoïdales, les équations différentielles peuvent être analysées facilement.

— TEMLIB
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Une façon de voir les choses, en bref, est qu'une série harmonique de fonctions sinus et cosinus forme une base orthogonale d'un espace vectoriel linéaire de fonctions à valeur réelle sur un intervalle de temps fini. Ainsi, une fonction sur un intervalle de temps peut être représentée comme une combinaison linéaire de fonctions sinus et cosinus liées harmoniquement.

Bien sûr, vous pouvez utiliser un autre ensemble de fonctions (par exemple des ondelettes particulières) tant qu'elles forment un ensemble de base valide et décomposer la fonction d'intérêt de cette façon. Parfois, ces décompositions peuvent être utiles, mais jusqu'à présent, nous ne connaissons que des applications spécialisées pour elles.

En prenant une analogie géométrique: vous pouvez utiliser une base non ortogonale pour décrire les composants d'un vecteur. Par exemple, un vecteur dans une base orthonormée peut avoir des composants de [1,8,-4]. Dans une autre base non orthonormée, il peut avoir des composants de [21,-43,12]. Que cet ensemble de composants soit plus facile ou plus difficile à interpréter que la base orthonormée habituelle dépend de ce que vous essayez de faire.

— Réintégrer Monica
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moins de pertes
moins d'harmoniques
aucune interférence avec la ligne de communication
effet très moins perturbateur
la machine exécute son efficacité
très très peu de comportement transitoire dans les cas L et C

— pradeep maurya
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