Quelle est la fonction d'une série Fourier?

Qu'est-ce qu'une série Fourier? À quoi sert-il?

La série Fourier:

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t) + b_i cos(i \omega_0 t) ]$

Le terme est une constante, c'est le niveau DC. Il aurait aussi pu être écrit sans diviser par deux, mais c'est la convention. Les termes de la somme infinie sont la somme d'un sinus pondéré et d'un cosinus pondéré de même fréquence. Si vous les dessiniez comme phaseurs dans le plan complexe d'Argand, vous verriez que le résultat est à nouveau un sinus, mais avec une amplitude différente et un déphasage. Par conséquent, l'équation peut également s'écrire $\dfrac{a_0}{2}$

$V_t = \dfrac{a_0}{2} + \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}[a_i sin(i \omega_0 t + \phi_i) ]$

Nous avons donc la somme des sinus, toutes les fréquences multiples d'une fréquence fondamentale , chacune avec sa propre amplitude et sa propre phase. $\omega_0$

Fourier a prouvé que vous pouvez décrire ainsi toutes les fonctions répétitives. Parfois la série est infinie, parfois elle a un nombre fini de termes. Parfois, des termes manquent, ce qui signifie que leur amplitude est nulle.

L'une des séries de Fourier les plus connues est celle d'une onde carrée:

$V_t = \displaystyle \sum_{i=1}^{\infty}\left[\dfrac{sin((2i - 1) \omega_0 t)}{2i - 1} \right]$

ou, développé:

$V_t = sin(\omega_0 t) + \dfrac{1}{3} sin(3 \omega_0 t) + \dfrac{1}{5} sin(5 \omega_0 t) + \dfrac{1}{7} sin(7 \omega_0 t) + ...$

C'est donc une telle série avec des termes manquants: une onde carrée n'a même pas d'harmoniques. L'image suivante montre à quoi elle ressemble dans le domaine temporel:

Le dessin du haut montre la somme des deux premiers termes, puis un troisième et en bas un quatrième terme est ajouté. Chaque terme ajouté rapprochera la forme d'onde d'une onde carrée, et vous aurez besoin de la limite de la série à l'infini pour obtenir une onde carrée parfaite.

Parfois, il est difficile de voir le sinus fondamental en lui. Prenons par exemple la somme d'un sinus de 3 Hz et d'un sinus de 4 Hz. La forme d'onde résultante se répétera une fois par seconde, soit 1 Hz. Le 1Hz est le fondamental, même si son amplitude est nulle. La série peut être écrite comme

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Tous les termes suivants ont également une amplitude nulle.

Chaque signal analogique réalisable, tout ce que vous pouvez penser ou dessiner légitimement sur un graphique tension / temps peut être exprimé en termes mathématiques comme la somme d'un nombre infini d'ondes sinusoïdales de fréquences différentes - quelque chose de cette forme:

any_signal(t) = A*sin(f1*t) + B*sin(f2*t) + C*sin(f3*t) ....

Les différents signaux sont construits en modifiant les valeurs de A, B, Cetc et f1, f2et d' autres.

Quand quelqu'un se réfère à une série de Fourier, il se réfère à l'expression de la forme d'onde comme une série d'opérations d'addition comme ci-dessus.

En réalité, chaque signal analogique a un certain contenu à chaque fréquence - même si l'amplitude est de .1e-67, il est toujours là. Idéalement, ce n'est pas le cas - si je construis une onde carrée pure, je sais pertinemment qu'elle se compose UNIQUEMENT de fréquences qui sont un multiple impair de sa période. Ainsi, l'onde carrée de 1 Hz est la somme d'une onde sinusoïdale de 1 Hz plus une onde sinusoïdale de 3 Hz et ainsi de suite. Pour d'autres formes d'onde bien connues telles que les ondes triangulaires et les rampes, les gens ont fait les calculs quant aux fréquences présentes et à quel contenu.

La série de Fourier est un moyen d'exprimer une forme d'onde périodique comme la somme (éventuellement infinie) de formes d'onde sinusoïdales «harmoniques».

Il est également utilisé pour exprimer un signal sur un intervalle de temps borné (compact) comme la somme infinie de formes d'onde sinusoïdales.

Essentiellement, en établissant la relation entre un signal dans le domaine temporel (c'est-à-dire un signal exprimé en fonction du temps) et un signal équivalent dans le domaine fréquentiel (c'est-à-dire le signal exprimé en fonction de la fréquence), le Fourier La série permet l'analyse harmonique des signaux et des systèmes, qui est la base de la théorie de la transmission radio, de la théorie du codage, de la théorie du contrôle, de la théorie quantique et de nombreux autres domaines d'ingénierie très utiles.

Alors que l'expression de signaux de la série de Fourier semble plus compliquée au premier abord, impliquant des expressions complexes et des «sommes infinies», en tant qu'outil mathématique, elles permettent aux ingénieurs de résoudre des problèmes qui ne peuvent pas être résolus à l'aide d'expressions de forme fermée.

En termes simples, il est parfois utile d'exprimer une variation dans l'espace et / ou le temps comme une variation de fréquence et de phase. Particulièrement pour les variations périodiques. Mais même lorsque la variation n'est pas périodique, à condition que la variation soit limitée à un certain intervalle dans l'espace et / ou le temps, elle sera également limitée à un intervalle correspondant (bande passante) en fréquence.

L'application de la série Fourier a permis de comprendre la largeur de bande des canaux pour les systèmes de communication, de développer des algorithmes de compression d'image et d'améliorer la fiabilité du système de distribution d'énergie électrique.

Pour ajouter un aspect pratique aux commentaires ci-dessus, la série du domaine temporel de Fourier peut être décomposée en ses composants du domaine fréquentiel via des algorithmes tels que FFT (Fast Fourier Transform) et DFT (Discrete Fourier Transform). Un résultat pratique important de la possibilité d'appliquer les algorithmes est que, dans la R&D et les tests en laboratoire, nous voulons souvent mesurer la pureté spectrale des signaux par rapport à un plancher de bruit (par exemple SNR ou gamme dynamique libre parasite) pour voir à quel point pur ou souvent, sans distorsion, le contenu de notre signal est. Si nous avons une sortie dans le domaine temporel (comme un convertisseur DA traiterait), nous ne pouvons pas vérifier ces valeurs en regardant simplement la réponse dans le domaine temporel, donc souvent du côté de la simulation, nous utiliserons un module DFT afin de transformer le signal du domaine temporel dans le domaine spectral (fréquence). En laboratoire, sur un oscilloscope, nous avons besoin d'un outil capable d'examiner les propriétés spectrales (nous utilisons généralement des analyseurs de spectre). Le cœur de ces outils dépend de l'analyse de Fourier et des méthodes de décomposition spectrale. Voilà donc une raison pratique pour laquelle l'analyse de Fourier est importante en EE.