Pourquoi utiliser des nombres complexes pour représenter l'amplitude et la phase du courant alternatif?

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Pourquoi est-ce que dans les circuits alternatifs, les ondes sinusoïdales sont représentées par un nombre complexe sous forme polaire? Je ne comprends pas logiquement, d'un point de vue physique, pourquoi il y a une partie imaginaire. Est-ce uniquement d'un point de vue mathématique que de faciliter l'analyse des circuits?

ac circuit-analysis

— Prévost
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Duplication possible: electronics.stackexchange.com/questions/28285/…

— clabacchio

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Citation: "Est-ce purement mathématique de faciliter l'analyse des circuits?"

Je ne sais pas si cette partie de la question a déjà reçu une réponse suffisante. Donc: Oui - l'utilisation de mathématiques complexes pour décrire des signaux sinusoïdaux n'a aucune pertinence physique directe. C'est juste pour "faciliter les analyses".

Par exemple: Introduire la fameuse formule d’Euler pour les signaux sinusaux dans la série de Fourier conduit à des fréquences négatives (symétriques par rapport aux fréquences positives). La question se pose donc: les fréquences négatives existent-elles dans la réalité? La réponse est non! C'est juste un outil mathématique utile.

— LvW
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C'est exactement ce que je me demandais.

— Prevost

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En fait, la motivation est assez simple.

Lorsque vous avez un circuit linéaire et que vous le stimulez avec une seule fréquence, où que vous regardiez, vous trouverez toujours la même fréquence, seule l'amplitude et la phase de la vague que vous mesurez changent.

Ce que vous faites alors, c’est bien dire, oublions la fréquence. Si je garde une trace de l’amplitude et de la phase des tensions et / ou des courants autour du circuit, cela sera plus que suffisant. Mais comment pouvez-vous faire ça? N'y a-t-il pas un outil mathématique qui vous permet de garder une trace de l'amplitude et de la phase? Oui, vous l'avez: les vecteurs. Un vecteur a une amplitude, c'est-à-dire sa longueur, et une phase, c'est-à-dire l'angle qu'il forme avec l'axe des x, sa direction est positive.

Maintenant, vous pouvez objecter que les vecteurs sont cool, mais rien de plus cool? Et pourquoi avons-nous besoin d'utiliser l'unité imaginaire?

La réponse à la deuxième question est simple: faire des calculs avec des vecteurs est assez pénible, un problème de notation:

(\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 10 \end{matrix})

$\pmatrix{2\\3}+\pmatrix{1\\7}=\pmatrix{3\\10}$

Et c'est tout seul! Eh bien, ce n’est qu’un problème de notation, si l’on choisit une autre base de choses pourraient être meilleures ... Et cette base existe, mais nécessite l’unité imaginaire . Le désordre précédent devient: Beaucoup plus facile, n'est-ce pas? $\mathbb{R}^2$ $j$

2 + 3 j + 1 + 7 j = 3 + 10 j

$2+3j+1+7j=3+10j$

Ok mais qu'est-ce qu'un vecteur imaginaire a en commun avec une tension? Bien, essayez d'imaginer le plan de Gauss, l'axe des x est l'axe réel, l'axe des y est l'imaginaire.

Une tension peut être représentée par un vecteur centré sur l'origine, sa longueur étant égale à la valeur de la tension, son angle de départ étant égal à la phase. Maintenant , le tour de magie: commencer à tourner le vecteur de telle sorte que sa vitesse angulaire les correspond à la fréquence souhaitée: $\omega$

beau phaseur

Bam. C'est ce que nous appelons un phaseur , et ce petit gars est l'arme la plus puissante que vous avez contre des circuits difficiles.

Alors pourquoi ces phaseurs sont-ils spéciaux? En effet, si vous prenez deux tensions réelles: et vous voulez les additionner, il arrive que si vous additionnez les phaseurs correspondants et que vous reveniez dans le domaine réel,le résultat est identique. Ce n’est pas magique, bien sûr, cela dépend de l’affinité mathématique entre les cosinusoïdes et l’exponentielle complexe. Croyez-moi ou croyez cette photo géniale:

v_{1} (t) = V_{1} \cos (2 π f_{0} t + θ_{1}) v_{2} (t) = V_{2} \cos (2 π f_{0} t + θ_{2})

$v_1(t)=V_1\cos(2\pi f_0t+\theta_1)\\ v_2(t)=V_2\cos(2\pi f_0t+\theta_2)$

entrez la description de l'image ici

Et le mieux, c’est que toute l’analyse réelle de circuit que vous avez étudiée jusqu’à présent continue de fonctionner avec des phaseurs et des impédances complexes. C’est-à-dire que la loi d’Ohm tient en compte avec des phaseurs et des impédances complexes , et c’est formidable, car nous avons une tonne d’outils pour résoudre des circuits construits sur les lois d’Ohm et de Kirchhoff, et nous pouvons toujours les utiliser.

Avec les phaseurs, prendre la dérivée / l’intégration est également très facile: comme vous le savez, puisque nous parlons de sinus et de cosinus à la même fréquence, il ne s’agit que d’une phase de décalage de phase, et -surprise- est très clair si vous utilisez le représentation exponentielle complexe.

TL; DR: Les sinusoïdes sont représentés sous forme de vecteurs en rotation sur le plan polaire. C’est un peu comme s’arrêter lorsqu’ils tournent et prennent une photo, c’est-à-dire calculer des relations de phase et d’amplitude. Il suffit de consulter la page phasor sur wikipedia. Et vérifiez cette autre réponse plus concise aussi.

— Vladimir Cravero
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La belle pwretty me voit comme une +1

— Andy aussi

Une autre chose intéressante dans la représentation complexe: la dérivée d’une exponentielle complexe n’est qu’une autre exponentielle complexe avec un déphasage. Il n'est donc pas nécessaire de savoir si vous utilisez un sinus ou un cosinus. (C'est bien sûr implicite dans votre propos sur un circuit piloté par une seule fréquence, mais je pense que c'est un bon point pour être explicite.)

— Semiclassical

Vous passez sous silence la chose vraiment géniale qui rend les nombres complexes meilleurs que les vecteurs: E = IR fonctionne avec des nombres complexes.

— Supercat

C'est juste au-dessus de la section tldr ...

— Vladimir Cravero

Nice (+1). Pouvez-vous ajouter bout à bout deux phaseurs pour afficher la modulation d'amplitude, puis effectuer le déphasage à 90 degrés pour la modulation de fréquence? (Je voudrais surtout voir un diagramme de phaseur FM à un indice de modulation élevé. J'ai du mal à visualiser cela.)

— George Herold

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La principale chose à noter est que tout signal périodique (avec quelques restrictions analytiques de base qui s’appliquent dans la pratique ou s’appliquent à un degré arbitraire, sinon exactement) peut être représenté par une somme de signaux sinus et cosinus avec une fréquence multiple de la période du signal.

Maintenant, une fois que vous quittez le règne de la réponse directe (comme les résistances), l’énergie peut être stockée et récupérée. Les bobines emmagasinent l'énergie magnétique (la tension et le courant ne commencent que graduellement, mais continue lorsque la tension chute), les condensateurs emmagasinent de l'énergie électrique (la tension ne commence et ne commence que graduellement mais se poursuit lorsque le courant tombe), les masses convertissent progressivement la force en impulsions , les ressorts convertissent progressivement l'impulsion en force et ainsi de suite.

De nombreuses formes de pouvoir sont fondamentalement le carré d’une mesure d’excitation. Or, il se trouve que la somme des carrés du sinus et du cosinus du même argument est égale à 1. Une constante. Vous décrivez donc très bien la conversion périodique de l’énergie à l’aide de sinus et de cosinus.

Il s'avère que l'algèbre utilisant des sinus et des cosinus est ténue. Si vous ajoutez un terme imaginaire représentant en quelque sorte la forme d'énergie de votre signal périodique qui ne vous intéresse pas et que vous jetez toute partie imaginaire restante une fois que vous avez terminé, les manipulations algébriques deviennent beaucoup plus simples au détriment de la complexité des variables réelles. .

— utilisateur53147
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$v(t) = Vcos(\omega t + \phi)$ $L$

v (t) = R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} = L \frac{d i}{d t} R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L d i \int R e {V e^{j (ω t + ϕ)}} d t = L \int d i R e {\int V e^{j (ω t + ϕ)} d t} = L i (t) R e {\frac{1}{j ω} V e^{j (ω t + ϕ)}} = L i (t) i (t) = R e {\frac{1}{j ω L} V e^{j ϕ} e^{j ω t}}

$v(t) = Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = L\frac{di}{dt}\\ Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L\ di\\ \int Re\{Ve^{j(\omega t + \phi)}\}\ dt = L \int \ di\\ Re\{\int Ve^{j(\omega t + \phi)}\ dt\} = L i(t)\\ Re\{\frac{1}{j\omega}Ve^{j(\omega t + \phi)}\} = Li(t)\\ i(t) = Re\{\frac{1}{j\omega L}Ve^{j\phi}e^{j\omega t}\}$

$j\omega L$ $v(t)$ $v_o = Ve^{j\phi}$ $i_o = \frac{v_o}{R} = \frac{v_o}{j\omega L}$ $i(t)$ $i_o$ $e^{j\omega t}$

— Veritas
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Je suppose que nous sommes d’accord sur le fait qu’il s’agit de deux informations qui représentent un signal alternatif à tout moment, l’amplitude et la phase, alors qu’elles ne représentent que l’amplitude pour le DC.

Ce n’est pas seulement l’analyse où il faut manipuler l’information, mais aussi la conception des circuits. Les composants ont une impédance et produisent des signaux alternatifs. Ainsi, lors de la conception, nous devons pouvoir calculer les impédances afin de concevoir un circuit avec des propriétés de courant alternatif spécifiques.

Les nombres complexes sont pratiques pour représenter et calculer à la fois les signaux alternatifs et l’impédance. Les deux dimensions, longueur et angle, nous permettent de calculer l'amplitude et la phase ensemble et de les maintenir cohérentes.

— gbuleur
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