Question théorique sur l'unité imaginaire «j» (analyse du circuit alternatif)


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Je viens de commencer à en apprendre davantage sur l'analyse du réseau AC et j'ai des questions sur "j" (ou "i" sur ma calculatrice), l'unité imaginaire. Mon livre n'aborde pas grand-chose à ce sujet, et passe directement aux formules et substitutions (approche plus pratique, pas théorique). Alors, que représente exactement J?

Je vois que si je dessine un plan complexe (l'axe des y étant imaginaire, l'axe des x étant réel) et que je dessine un cercle unitaire dessus, un angle de 90 ° est , qui est "j". Je vois que je peux utiliser cette substitution sous forme de phaseur lorsque, par exemple, la résolution de la tension aux bornes d'un condensateur lorsque le courant le traversant est connu:-1

V=jejωC

Quelqu'un peut-il m'aider à comprendre cela?

Pour être honnête, cette question est assez vague parce que je ne sais même pas comment demander ce qu'est J; c'est si étranger à moi. Je voudrais une explication de bon sens (vue d'ensemble) de sa signification et de son objectif dans l'analyse de circuits CA. Je ne recherche pas nécessairement une explication mathématique rigoureuse (bien que toute explication mathématique nécessaire soit la bienvenue).


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L'algèbre est sensible à la casse. J et j sont des choses différentes.
TRiG

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Vous pouvez regarder les questions sous l' complex-numbersétiquette sur math.SE: math.stackexchange.com/questions/tagged/...
Le Photon

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Bien sûr, ce que vous trouverez sur math.SE laissera ouverte la question vraiment intéressante: pourquoi les nombres complexes sont-ils utiles en ingénierie?
The Photon

@The Photon: La réponse est sur Wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/Phasor Je peux le résumer ici, mais étant donné la dynamique du vote sur les sites SE, ce serait des "balles gaspillées".
Fizz

@RespawnedFluff, répondez-vous à ce que vous vouliez répondre?
The Photon

Réponses:


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Si vous mettez un signe moins devant le chiffre «5», il devient «-5».

Essayez de voir les choses différemment. Essayez de penser qu'il fait pivoter le nombre "5" (lié à l'origine par un morceau de chaîne de longueur 5) de 180 degrés pour devenir "-5"

OK jusqu'à présent? Les signes négatifs sont identiques à une rotation de 180 degrés ...

Pourquoi ne pas l'étendre davantage pour produire quelque chose que vous pouvez "coller" devant un nombre positif qui le fait pivoter de 90 degrés - en EE, cela est généralement appelé "j" et il agit pour faire pivoter une valeur (sur l'origine) de 90 degrés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, c'est-à-dire que si vous le faisiez deux fois (j * j) vous obtiendrez 180 degrés ("-").

De ce joyau de la connaissance, vous pouvez donc dire j * j = -1 donc, j = -1

Tout comme un signe moins peut faire pivoter n'importe quelle valeur positive sur 180 degrés, il peut faire pivoter n'importe quel vecteur ou phaseur sur 180 degrés. La même chose s'applique à l'opérateur j - il tourne n'importe quel vecteur ou phaseur de 90 degrés dans le sens antihoraire.

EDIT - oublié une partie de la question: -

substituant j à l'impédance d'un condensateur. Rappelez-vous que la formule de base d'un condensateur est Q = CV et différencie donc les variables que nous obtenons: -

je=Qt=CVt

Cela nous dit que pour une tension d'onde sinusoïdale appliquée à travers un condensateur, le courant sera également une onde sinusoïdale mais différenciée en un cosinus comme celui-ci: -

entrez la description de l'image ici

Si vous avez essayé de calculer l'impédance (V / I) d'un condensateur à partir de la relation VI, vous auriez des problèmes parce que lorsque je passe à zéro, V n'est PAS nul, vous obtenez donc des infinis. Si, d'autre part, vous appliquez un "j" pour amener le courant en phase avec la tension, les calculs fonctionnent bien - le courant et la tension sont alignés et l'impédance basée sur des valeurs instantanées de V / I est logique.

Je suis conscient que vous débutez donc j'ai essayé de garder cela à la fois précis et simple (peut-être trop simple pour certains?).

Si vous regardez l'inductance, le "j" peut être appliqué à la tension pour l'aligner avec le courant, donc "j" est dans le numérateur pour la réactance inductive et j est dans le dénominateur pour la réactance capacitive. Il y a des subtilités qui, je l'espère, auront du sens à mesure que vous en apprendrez plus - ce n'est en fait pas un hasard si "j" semble "suivre" les omégas en matière d'impédance - mon explication ne couvre pas cela et votre question non plus!


J'ai trouvé votre réponse très utile, en particulier avec votre mention de l'utilisation de j pour mettre les formes d'onde en phase; cela m'a aidé à comprendre son utilisation, car je me souviens que la tension entraîne un courant de 90 * pour l'inductance pure, et vice-versa pour le cap pur. Merci!
asdf

@Andy aka, le «j» sert-il autre chose que d'activer la division entre V et I quand je suis nul?
noorav

@noorav sert à d'autres fins telles que la résolution des fonctions de transfert dans les filtres et les systèmes de contrôle. Dans mon exemple ci-dessus, je ne faisais que l'utiliser pour décaler une forme d'onde de tension pour l'aligner sur une forme d'onde actuelle. Vous connaissez peut-être le domaine des nombres complexes .
Andy aka

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je-1

-1-je

Si vous imaginez une droite numérique avec des nombres réels placés horizontalement. Nous pouvons maintenant ajouter une deuxième ligne numérique allant verticalement contenant les nombres imaginaires.

4+3je représente un point qui est de 4 unités le long de l'axe réel et de 3 unités le long de l'axe imaginaire.

Comme un point dans un espace bidimensionnel peut désormais être représenté sous la forme d'un nombre unique, les calculs impliquant des vecteurs bidimensionnels sont simplifiés.

En électronique, lorsque l'on considère des systèmes alimentés par une onde sinusoïdale à fréquence unique, on nous apprend d'abord à dessiner des diagrammes de phaseurs. Ensuite, plus tard, utilisez des nombres complexes pour résoudre ces problèmes.

jjeje souvent utilisé pour le courant.

Si vous souhaitez un peu plus d'informations, jetez un œil à cette question: Que sont les nombres imaginaires? du site Mathematics Stack Exchange .

Ou jetez un œil ici: Un guide visuel et intuitif des nombres imaginaires .


Merci pour votre aide et références à des lectures supplémentaires!
asdf

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En mathématiques, quelqu'un a posé la question:

Quelle est la solution à x ^ 2 = -1?

Ils ont inventé un nombre et ont dit appelons-le "j".

Ils ont calculé les conséquences de cette opération. Ils ont constaté que cela ne conduisait à aucune contradiction dans le domaine des mathématiques existantes.

Notez que vous pourriez penser, "ok, pourquoi ne pas simplement introduire une lettre chaque fois que vous avez quelque chose d’insoluble? Je vais simplement appeler 1/0 = f".

Essayez-le. Cela ne fonctionne pas toujours parce que les règles arithmétiques existantes s'effondrent. Par exemple, vous pouvez montrer que définir 1/0 = f vous permet de montrer que 1 = 2 ou 1 = 3, ...

Donc, mathématiquement, cela fonctionne et n'a conduit à aucune contradiction. Soudain, nous avons un moyen de "regrouper" deux informations en un seul nombre en raison de la façon dont vous pouvez représenter un nombre complexe: sur un plan réel / imaginaire. Soudain, nous pouvons manipuler un NUMBER qui contient à la fois la magnitude et la phase de la même manière que nous manipulons des "nombres réguliers". C'est assez utile.

En électronique, il est assez pratique de pouvoir regrouper deux informations en un seul. Il est donc très pratique d'utiliser des nombres complexes. C'est tout. Il se trouve que nous voulons justement suivre à la fois une ampleur et une phase - cet outil de mathématiques qui, à bien des égards, vient d'être inventé de nulle part mais qui ne viole aucune règle nous permet de faire exactement cela. Alors utilisons-le.


Vous sautez des détails assez importants ici. Les nombres imaginaires ne sont pas seulement un moyen de combiner deux nombres réels arbitraires en un vecteur; la structure des nombres complexes fait que les opérations sur le couple réel / imaginaire se comportent de manière spécifique.
duskwuff -inactive-

@duskwuff: Je pense que son point de vue était qu'une fois que l'on décide que j représente l'une des deux racines de x ^ 2 = -1, il n'est pas nécessaire d'inventer une structure pour eux, car la structure des nombres complexes [par exemple, multiplier (a + bj) par (c + dj) donnera (ac-bd) + (ad + bc) j] découle de la combinaison des lois de l'arithmétique avec cet axiome supplémentaire.
supercat

@supercat Droite. Ce que j'essaie de comprendre, c'est qu'il y a une signification physique à cette structure - ce n'est pas seulement une astuce mathématique aléatoire.
duskwuff -inactive-

-1

En mathématiques, l'unité imaginaire est un nombre très utile utilisé pour résoudre des équations d'ordre supérieur à 2. Il a été introduit juste ... à l'épreuve, et cela fonctionne jusqu'à aujourd'hui. Cela permet d'obtenir au moins une racine dans chaque polynôme.

En électronique, l'unité imaginaire représente l'énergie stockée dans notre circuit. Donc, dans le condensateur, c'est l'énergie qui y est stockée. Il représente également un déphasage dans le circuit, lorsque nous avons affaire à des signaux sinusoïdaux.

Je pense que vous devriez préciser votre question ou simplement écrire des questions qui vous dérangent.

Par exemple ... Si l'impédance de votre circuit sera représentée uniquement par une unité imaginaire, et non pas réelle, votre facture d'énergie sera ... nulle :)

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