Polonais et zéros en anglais

Quelqu'un peut-il expliquer, ou fournir une bonne référence à une explication de Polonais et Zéros, par exemple, un compensateur d’alimentation, ou n’importe quel système de contrôle? Je ne cherche pas vraiment une explication mathématique, car cela semble plutôt simple, mais leur signification réelle.

Par exemple, il semble courant, dans les documents ou les notes d'application, de mentionner "une configuration d'amplificateur d'erreur de type III à trois pôles (un à l'origine) et deux zéros" ou "l'ajout du condensateur C1 introduit un zéro supplémentaire dans le système" comme si je devais en tirer quelque chose sans autre explication. En réalité, je suis comme "euh, alors quoi?"

Alors, qu'est-ce que cela signifierait d'un point de vue pratique? Les pôles sont-ils des points d’instabilité? Le nombre de zéros et de pôles indique-t-il quelque chose au sujet de la stabilité ou de son manque? Y a-t-il une référence à ce sujet quelque part écrite d'une manière compréhensible qui me permettrait (plus d'un usage pratique, pas de maths hardcore pour des raisons mathématiques) de rejoindre la foule quand il s'agissait de faire référence à des zéros et des pôles d'application ?

1. Un système de retour (comme n'importe quel autre circuit alternatif) peut être décrit à l'aide d'une fonction complexe . Elle s'appelle la fonction de transfert du système et décrit tout son comportement linéaire.$L(s)$

2. peut être tracé sous forme de deux graphiques: un pour la magnitude et un pour la phase et la fréquence (graphiques du corps). Ces graphiques nous permettent de déterminer facilement la stabilité du système. Un système instable subit un déphasage de 180 ° (une rétroaction négative commence alors à être positive) tout en conservant un gain.$L(s)$

3. Chaque fonction complexe décrivant un circuit électrique est complètement définie par ses pôles et ses zéros. Si vous écrivez la fonction sous la forme d'un rapport de deux polynômes de zéros sont des points où le numérateur est égal à 0 et les pôles sont des zéros du dénominateur.$j\omega$$0$

4. Il est assez facile de dessiner des graphes de Bode à partir de pôles et de zéros, ils constituent donc la méthode privilégiée pour spécifier les systèmes de contrôle. De même, si vous pouvez ignorer le chargement de sortie (car vous avez séparé les différentes étapes avec des amplis op), vous pouvez simplement multiplier les fonctions de transfert sans effectuer tous les calculs de circuit normaux. La multiplication des ratios polynomiaux signifie que vous pouvez simplement concaténer les listes de pôles et de zéros.

Revenons donc à votre question:

1. Consultez la page Wikipedia pour une introduction et ce tutoriel pour une référence sur la façon de dessiner des graphes de Bode à partir d'une liste de pôles et de zéros.

2. Lisez un peu plus sur les aspects pratiques de la transformation de Laplace . Version courte: vous calculez simplement le circuit comme avec des nombres complexes, mais vous substituez lequel vous écrivez j ω . Ensuite, vous trouvez V o u $s$$j\omega$ et vous avez votre fonction de transfert.$V_{out} \over V_{in}$

3. À partir d’une fonction de transfert en boucle ouverte (imaginez couper la boucle avec des ciseaux et y placer une sorte de mètre de réponse en fréquence), vous tracez des courbes de Bode et vérifiez la stabilité. La note d’application Feedback, Amps Op et Compensation est courte et dense, mais contient toute la théorie dont vous avez besoin pour cette partie. Essayez au moins de le parcourir.

En bref, les pôles et les zéros sont un moyen d’analyser la stabilité d’un système à rétroaction.

Je vais essayer de ne pas avoir trop de math, mais je ne sais pas comment expliquer sans au moins quelques mathématiques.

Voici la structure de base d'un système de rétroaction:

Sous cette forme, il n'y a pas de gain ou de compensation dans le chemin de retour, il est entièrement placé dans le chemin aller. Cependant, la partie retour de systèmes plus généraux peut être transformée pour ressembler à cela et analysée de la même manière.

$L(s)$$L(s) = 1$$s$$L(s) = 0$

$L(0)$

Polonais et Zéros

$L(s)$$A e^{i \theta}$$\theta$$L(s)$

$L(s)$$L(s)$

Pour qu'un système soit stable, la magnitude de $L(s)$$L(s)$

Comme exemple simple, un op-amp peut avoir $L(s) = \frac{10^{6}}{s}$

$L(s)$$L(s)$

J'espère que cela t'aides. En général, je pense que les feuilles de données et les notes d'application suggèrent des valeurs pour les composants de compensation afin que l'utilisateur n'ait pas besoin d'analyser la stabilité, sauf en cas d'exigences particulières. Si vous avez une difficulté à utiliser un élément spécifique et que vous enregistrez un lien dans la fiche technique, je pourrais peut-être vous proposer quelque chose.

Un pôle est une fréquence où un filtre résonne et aurait, du moins mathématiquement, un gain infini. Un zéro est l'endroit où il bloque un gain de fréquence - zéro.

Un simple condensateur de blocage du courant continu, comme pour le couplage des amplificateurs audio, a un zéro à l'origine - il bloque les signaux à 0Hz, c'est-à-dire qu'il bloque la tension constante.

Généralement, nous avons affaire à des fréquences complexes. Nous ne considérons pas seulement les signaux qui sont des sommes d’ondes sinus / cosinus, comme l’a fait Fourier; nous théorisons une croissance ou une décroissance des sinus / cosinus. Les pôles et les zéros représentant de tels signaux peuvent se trouver n'importe où dans le plan complexe.

Si un pôle est proche de l’axe réel, ce qui représente des ondes sinusoïdales normales et constantes, cela représente un filtre passe-bande parfaitement réglé, à la manière d’un circuit LC de haute qualité. Si c'est loin, c'est un filtre passe-bande très mou avec une faible valeur «Q». Le même type de raisonnement intuitif s'applique aux zéros: des entailles plus nettes dans le spectre de réponse se produisent lorsque les zéros sont proches de l'axe réel.

La fonction de transfert L (s) décrivant la réponse d'un filtre doit avoir un nombre égal de pôles et de zéros. Ceci est un fait fondamental en analyse complexe, valable parce que nous traitons de composants localisés linéaires décrits par une algèbre simple, des dérivés et des intégrales, et que nous pouvons décrire les sinus / cosinus comme des fonctions exponentielles complexes. Ce genre de maths est analytique partout. Il est cependant courant de ne pas mentionner les pôles ou les zéros à l'infini.

L'une ou l'autre entité, si ce n'est sur l'axe réel, apparaîtra par paires - à une fréquence complexe et à son complexe complexe. Cela concerne le fait qu'un signal réel aboutit à une sortie de signal réel. Nous ne mesurons pas les tensions de nombres complexes. (Les choses deviennent plus intéressantes dans le monde des micro-ondes.)

Si L (s) = 1 / s, c’est un pôle à l’origine et un zéro à l’infini. C'est la fonction d'un intégrateur. Appliquez une tension constante et le gain est infini - la sortie monte sans limite (jusqu'à atteindre la tension d'alimentation ou jusqu'à ce que le circuit fume). À l'opposé, le fait d'insérer une très haute fréquence dans un intégrateur n'aura aucun effet. sa moyenne est nulle au fil du temps.

Les pôles dans le "demi-plan droit" représentent une résonance à une fréquence qui fait croître un signal de manière exponentielle. Vous voulez donc des pôles dans le demi-plan gauche, ce qui signifie que pour tout signal arbitraire placé dans le filtre, la sortie va finalement tomber à zéro. C'est pour un filtre normal. Bien sûr, les oscillateurs sont supposés osciller. Ils maintiennent un signal constant en raison des non-linéarités - les transistors ne peuvent émettre plus que Vcc ou moins de 0 volt pour la sortie.

Lorsque vous examinez un tracé de réponse en fréquence, vous pouvez supposer que chaque bosse correspond à un pôle, et chaque creux à un zéro, mais ce n'est pas strictement vrai. et les pôles et les zéros éloignés de l’axe réel ont des effets qui ne sont pas évidents de cette façon. Ce serait bien si quelqu'un inventait une applet Web Flash ou Java qui vous permettait de déplacer plusieurs pôles et zéros partout et de tracer la réponse.

Tout cela est simplifié à l'excès, mais devrait donner une idée intuitive de ce que signifient les pôles et les zéros.

Permettez-moi d’essayer de résumer ceci à des termes encore plus simples que les explications détaillées qui ont été publiées précédemment.

La première chose à réaliser est que les pôles et les zéros, pour les types de systèmes de contrôle, impliquent que nous sommes dans le domaine de Laplace. La transformée de Laplace a été créée pour permettre de traiter les équations différentielles et intégrales de manière algébrique. Le 's' dans une équation de Laplace signifie "le dérivé de" et "1 / s" signifie "prend l'intégrale de". Mais si vous avez un bloc qui a une fonction de transfert de (1 + s) suivi d'un autre avec une fonction de transfert (TF) de (3 - 5 / s), vous pouvez obtenir la fonction de transfert totale en multipliant simplement (1 + s ) par (3 - 5 / s) et obtenez (3s - 5 / s - 2), ce qui est beaucoup plus facile à faire que si vous restiez dans le domaine normal et que vous deviez travailler avec des intégrales et des dérivés.

Donc, à la question -> un pôle signifie que la fonction de transfert globale a un 's' pour lequel sa valeur est l'infini. (Comme vous pouvez l'imaginer, c'est souvent une très mauvaise chose.) Un zéro signifie exactement le contraire: une valeur de 's' donne le TF total = 0. Voici un exemple:

Un TF est (s + 3) / (s + 8). Ce TF a un zéro à s = ​​-3 et un pôle à s = ​​-8.

Les pôles sont un mal nécessaire: pour faire quelque chose d’utile, comme, par exemple, faire en sorte que la sortie d’un système réel suive une entrée, vous avez absolument besoin de pôles. Vous devez souvent concevoir le système avec plusieurs d'entre eux. Mais, si vous ne regardez pas votre conception, un ou plusieurs de ces pôles pourraient s'égarer dans le "s est égal à un nombre avec une composante réelle positive" (c'est-à-dire, la moitié droite de l'avion). Cela signifie un système instable. Sauf si vous construisez intentionnellement un oscillateur, cela est généralement très mauvais.

La plupart des systèmes en boucle ouverte ont des pôles et des zéros qui sont faciles à caractériser et se comportent très bien. Mais lorsque vous avez intentionnellement (ou involontairement, ce qui est extrêmement facile à faire) extraire une partie de la sortie et la restituer à une partie antérieure du système, vous avez créé un système de rétroaction en boucle fermée. Les pôles et les zéros en boucle fermée SONT liés aux pôles et aux zéros en boucle ouverte, mais pas de manière intuitive pour l'observateur occasionnel. Il suffit de dire que c’est là que les concepteurs ont souvent des problèmes. Ces pôles en boucle fermée doivent rester dans la partie gauche du plan laplace. Les deux techniques les plus couramment utilisées sont le contrôle du gain global par le chemin de la boucle fermée et / ou l’ajout de zéros (les zéros à boucle ouverte adorent les pôles à boucle ouverte et font souvent en sorte que les pôles à boucle fermée se comportent beaucoup différemment).

Un commentaire rapide sur une réponse très appréciée ci-dessus: "En bref, les pôles et les zéros sont un moyen d’analyser la stabilité d’un système de rétroaction."

Bien que la déclaration soit vraie, le système n'a pas besoin de commentaires pour que ces concepts soient utiles. Les pôles et les zéros sont utiles pour comprendre la plupart des systèmes réels avec une réponse en fréquence, autre qu'une réponse plate, telle que des filtres, des amplificateurs et tout type de système dynamique.

Pour ajouter un peu de math (nous devons le faire, c'est un concept mathématique), vous pouvez (pour beaucoup de systèmes) exprimer une réponse en fréquence d'un système comme:

H (f) = B (f) / A (f)

et B (f) et A (f) peuvent être exprimés sous forme de polynômes complexes en fréquence.

Un exemple simple: considérons un filtre passe-bas RC (tension d'entrée -> série R -> shunt C -> tension de sortie).

Le gain (fonction de transfert) peut être exprimé dans le domaine fréquentiel par:

Vout (f) / Vin (f) = H (f) = 1 / (1 + j * 2 * pi * f * R * C),

où j (ou i) est la racine carrée de -1.

Il y a un pôle à la fréquence fp = 1 / (2 pi RC). Si vous tracez la magnitude de cette équation complexe, vous constaterez que le gain en DC est égal à 1 (0 dB), que le gain chute à -3 dB à f = fp = 1 / (2 * pi * RC) et que le gain continue de chuter à -20 dB par décennie (augmentation de 10 fois) après le pôle.

Vous pouvez donc considérer le pôle comme un point de rupture entre la réponse de gain et la fréquence. Cet exemple simple est un filtre passe-bas avec une "fréquence de coupure" à w = 1 / (RC) ou f = 1 / (2 pi RC).

En termes mathématiques, un pôle est une racine du dénominateur. De même, un zéro est la racine du numérateur et le gain augmente à des fréquences supérieures à zéro. La phase est également affectée ... mais c'est peut-être plus que suffisant pour un fil non mathématique.

"Ordre" est le nombre de pôles et le "type" est le nombre de pôles à f = 0 (intégrateurs purs).