Pourquoi l'inductance (L) est-elle proportionnelle au nombre de spires (N²)?

Nous partons de l' équation de Maxwell

$$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu \mathbf{J} + \overbrace{\mu \epsilon \dfrac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}}^0.$$

Nous prenons l' intégration de la surface des deux côtés, pour la surface ( ) à l' intérieur de la trajectoire moyenne ( ) de l'âme.$s$$c$

$$\int_s \left( \mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} \right) \cdot d\mathbf{s} = \mu \int_s \mathbf{J} \cdot d\mathbf{s}$$

Nous utilisons le théorème de l' AVC pour réécrire le côté gauche; où est dans la même direction que le flux magnétique .$c$$\Phi$

$$\oint_c \mathbf{B} \cdot d \mathbf{\ell} = \mu N I$$

(L'intégrale sur le côté gauche donne , car il y a fils différents sur l'enroulement.)$NI$$N$

La densité du champ magnétique à l'intérieur de ces types de noyaux est considérée comme uniforme. Nous pouvons donc écrire

$$B \ell_c \overset\sim= \mu NI \implies B = \dfrac{\mu NI}{\ell_c};$$

où est la longueur moyenne du chemin du noyau.$\ell_c$

Nous pouvons trouver le flux magnétique à partir de la densité de flux magnétique que nous avons trouvée en utilisant la section transversale du noyau .$A_c$

$$\Phi = BA_c = \dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}$$

Par définition, l'inductance est la quantité de flux magnétique généré par le courant appliqué, c'est-à-dire

$$L \overset\triangle= \dfrac{\Phi}{I}.$$

Donc, nous trouvons l'inductance du système comme

$$\boxed{ L = \dfrac{\Phi}{I} = \dfrac{\dfrac{\mu NIA_c}{\ell_c}}{I} = \dfrac{\mu NA_c}{\ell_c} }.$$

Mais, toutes les autres sources ( exemple ) donnent l'inductance d'un inducteur comme celui-ci comme

$$L = \dfrac{\mu N^2A_c}{\ell_c}.$$

Quelle est l'erreur que j'ai commise dans ma dérivation? Veuillez expliquer en détail.

Vous calculez le flux de base avec l'équation ci-dessus, et l'inductance prend la somme de tous les flux à chaque tour. Le flux à travers chaque tour est le même et égal au flux central. Le flux central est proportionnel à N et la somme des flux par tour est proportionnelle à .$N^2$

Une autre façon d'exprimer cette dépendance est de dire: à cause du couplage magnétique entre les spires.

Pensez à un inducteur à un tour (à gauche ci-dessous), puis imaginez ce tour unique divisé en deux fils parallèles qui sont enroulés très étroitement afin qu'ils occupent pratiquement le même espace (juste en dessous).

Les deux fils parallèles, pour une tension appliquée donnée, prendront chacun la moitié du courant de l'inductance à un tour et, ensemble, ils prendront le même courant que le tour unique: -

Pour cette raison, chaque fil parallèle individuel DOIT avoir deux fois l'impédance du fil unique et, ensemble, lorsqu'ils sont câblés en parallèle, présentent la même impédance que le fil unique. OK jusqu'à présent?

Maintenant, réorganisez ces deux fils (dans votre esprit) afin qu'ils soient en série l'un avec l'autre. L'impédance passe à quatre fois l'impédance: -

Cela signifie que l'inductance a quadruplé pour un doublement de spires et il est trivial d'étendre cet exemple à n spires.

Quelle est l'erreur que j'ai commise dans ma dérivation? Veuillez expliquer en détail.

L'inductance est

$$L = \frac{\lambda}{I} = \frac{N\Phi}{I}$$

où est la liaison de flux - le flux magnétique relie N tours.$\lambda$