Pourquoi plus de bande passante signifie-t-il un débit binaire plus élevé dans la transmission numérique?

Je comprends que des questions similaires à celle-ci ont déjà été posées sur ce site, répertoriées ci-dessous. Cependant, je suis confus quant aux réponses. Si j'explique ce que je pense comprendre, quelqu'un peut-il indiquer où je me trompe?

• pourquoi plus de bande passante signifie plus de débit binaire par seconde

• pourquoi-des-fréquences-plus-élevées-des-débits-de-données ...

Je vais commencer par ce que je sais:

La loi de Shannon donne la limite supérieure théorique

si S = N, alors C = B

Comme N → ∞, C → 0

Comme N → 0, C → ∞

La formule de Nyquist indique approximativement combien de niveaux sont nécessaires pour atteindre cette limite

(Si vous n'utilisez pas suffisamment de niveaux logiques, vous ne pouvez pas approcher la limite de shannon, mais en utilisant de plus en plus de niveaux, vous ne dépasserez pas la limite de shannon)

Mon problème est que j'ai du mal à comprendre pourquoi la bande passante est liée au débit binaire. Il me semble que la limite supérieure de la fréquence qui peut être envoyée sur le canal est le facteur important.

Voici un exemple très simplifié: pas de bruit du tout, 2 niveaux logiques (0V et 5V), pas de modulation, et une bande passante de 300 Hz (30 Hz - 330 Hz). Il aura une limite de Shannon de ∞ et une limite de Nyquist de 600bps. Supposons également que le canal est un filtre parfait pour que tout ce qui se trouve en dehors de la bande passante soit complètement dissipé. Lorsque je double la bande passante, je double le débit binaire, etc.

Mais pourquoi ça? Pour une transmission numérique à deux niveaux Avec une bande passante de 300 Hz (30 Hz - 330 Hz), le signal numérique de "0V" et "5V" sera une onde carrée (approximativement). Cette onde carrée aura des harmoniques inférieures à 30 Hz et supérieures à 330 Hz dissipées, elle ne sera donc pas parfaitement carrée. S'il a une fréquence fondamentale au minimum de 30 Hz (donc les "0V" et les "5V" commutent 30 fois par seconde), alors il y aura une bonne quantité d'harmoniques et une belle onde carrée. S'il a une fréquence fondamentale au maximum de 330 Hz, le signal sera une onde sinusoïdale pure car il n'y a pas d'harmoniques d'ordre supérieur pour le rendre carré. Cependant, comme il n'y a pas de bruit, le récepteur pourra toujours distinguer les zéros des uns. Dans le premier cas, le débit sera de 60 bps, comme les "0V" et "5V" commutent 30 fois par seconde. Dans le deuxième cas, le débit binaire sera au maximum de 660 bps (si la tension de commutation de seuil du récepteur est exactement de 2,5 V), et légèrement inférieur si la tension de seuil est différente.

Cependant, cela diffère de la réponse attendue de 600 bps pour la limite supérieure. Dans mon explication, c'est la limite supérieure de la fréquence du canal qui compte, pas la différence entre la limite supérieure et la limite inférieure (bande passante). Quelqu'un peut-il expliquer ce que j'ai mal compris?

De plus, lorsque ma logique est appliquée au même exemple mais en utilisant la modulation FSK (incrémentation de décalage de fréquence), j'obtiens le même problème.

Si un zéro est exprimé comme une fréquence porteuse de 30 Hz, un est exprimé comme une fréquence porteuse de 330 Hz et que le signal de modulation est de 330 Hz, alors le débit binaire maximal est de 660 bps.

Encore une fois, quelqu'un peut-il clarifier mon malentendu?

Aussi pourquoi utiliser une onde carrée en premier lieu? Pourquoi ne pouvons-nous pas simplement envoyer des ondes sinusoïdales et concevoir les récepteurs pour avoir une tension de seuil de commutation exactement au milieu entre la valeur maximale et minimale de l'onde sinusoïdale? De cette façon, le signal occuperait beaucoup moins de bande passante.

Merci d'avoir lu!

C'est un point subtil, mais votre pensée s'égare lorsque vous pensez à une tonalité de 330 Hz transmettant en quelque sorte 660 bits / seconde d'informations. Ce n'est pas le cas - et en fait, un ton pur ne transmet aucune information autre que sa présence ou son absence.

Pour transmettre des informations via un canal, vous devez être en mesure de spécifier une séquence arbitraire d'états de signalisation à transmettre et - c'est le point clé - de pouvoir distinguer ces états à l'autre extrémité.

Avec votre canal 30-330 Hz, vous pouvez spécifier 660 états par seconde, mais il s'avérera que 9% de ces séquences d'état violeront les limitations de bande passante du canal et ne pourront pas être distinguées des autres séquences d'état à l'extrémité distante, donc vous ne pouvez pas les utiliser. C'est pourquoi la bande passante de l'information se révèle être de 600 b / s.

Ce n'est qu'une réponse partielle, mais j'espère qu'elle parvient aux principaux points que vous avez mal compris.

Mon problème est que j'ai du mal à comprendre pourquoi la bande passante est liée au débit binaire. ...

Si un zéro est exprimé comme une fréquence porteuse de 30 Hz, un est exprimé comme une fréquence porteuse de 330 Hz et que le signal de modulation est de 330 Hz, alors le débit binaire maximal est de 660 bps.

Si vous passez à 30 Hz pour un zéro, vous devez avoir environ 1/60 s environ pour vraiment savoir que vous avez 30 Hz et non 20 Hz ou 50 Hz ou quelque chose du genre. Vraiment dans ce cas, vous êtes juste en train d'activer / désactiver votre porteuse 300 Hz, et le signal 30 Hz qui est envoyé pendant 1/660 s pendant les zéros est juste source de confusion.

$1/2\Delta{}f$ , dans ce cas 1/20 000 s, pour pouvoir distinguer de manière fiable ces deux fréquences. Si vous venez de mesurer le signal pour 1 nous, vous ne pourriez pas vraiment faire la différence entre un signal de 1 MHz et un signal de 1,01 MHz (bien que dans un scénario idéal et sans bruit, vous puissiez le faire, tout comme la formule de Shannon dit que vous pouvez transmettre des données infinies avec une bande passante nulle lorsque le SNR passe à l'infini)

Ainsi, dans cet exemple, le débit binaire que vous pouvez envoyer est d'environ 20 kHz, ce qui correspond à 2x la différence entre vos fréquences 1 et 0, tout comme la formule de Nyquist vous amène à vous attendre à un code à 2 niveaux.

Vos questions sont valables et le chemin vers une bonne compréhension de ce que signifie la théorie ;-).

À la question de savoir comment plus de bande passante signifie un débit binaire plus élevé, l'explication peut sembler simple mais être mauvaise en même temps.

Voici une "mauvaise" explication qui semble correcte. C'est un début pour comprendre pourquoi une plus grande bande passante est plus de données cependant. Supposons que j'ai un premier canal WiFi numéro 1 fonctionnant à 1 Mo / s compte tenu de la puissance et des conditions d'encodage. Ensuite, je prends un autre canal WiFi numéro 2 qui a les mêmes conditions de bande passante, de puissance et d'encodage. Il fonctionne également à 1 Mo / s. Lorsque je additionne les deux ensemble, j'ai doublé la bande passante (deux canaux différents) et doublé le débit de données (2x1Mb / s).

Si vous pensez que cela ressemble à une explication parfaite, vous oubliez que nous avons également doublé la puissance. Il en va de même du double débit de données en raison de la puissance doublée ou de la bande passante doublée. C'est un peu des deux en fait.

Si je maintiens la même puissance totale tout en doublant la bande passante, je dois comparer un premier canal WiFi fonctionnant à 1 Mo / s avec la somme de deux autres canaux WiFi fonctionnant chacun à la moitié de la puissance reçue. Je ne vais pas vérifier les fiches techniques des modems WiFi, mais ce serait un exercice intéressant à comparer avec l'approche théorique suivante. Shannon nous aide à prédire ce qui se passera plus ou moins si l'encodage s'adapte aux niveaux de puissance (ce qui est le cas pour le WiFi). Si le codage ne s'adapte pas, le débit de données reste constant jusqu'à ce que le niveau de réception soit trop bas auquel moment il tombe à 0.

Alors Shannon dit: C = B ∗ log2 (1 + S / N). En conservant la puissance totale, mais en doublant la bande passante, C2 = 2 * B * log2 (1+ (S / 2) / N) où C2 est le débit de données potentiel. En remplissant les nombres réels, nous pourrions supposer que S = 2xN de sorte que log2 (1 + 2) = 1,58 et log2 (1 + 1) = 1. Donc C = B * 1,58 et C2 = B * 2. En d'autres termes, lorsque mon niveau de signal à la plus grande bande passante est égal au niveau de bruit, le débit de données potentiel est environ 26% plus élevé que la même puissance totale émise dans la moitié de la bande passante. Donc, théoriquement, une bande ultra étroite ne peut pas être plus efficace qu'une bande ultra large basée sur le théorème de Shannon. Et doubler la bande passante avec le même niveau de puissance totale ne double pas la bande passante comme le suggère notre exemple WiFi. Mais la bande passante est plus élevée. Si nous pouvons négliger le terme "1" dans le log2 de l'expression de Shannon,

Cependant, comme je l'ai mentionné, l'encodage doit s'adapter, il doit être optimisé en fonction de la puissance et de la bande passante disponibles. Si l'encodage reste le même, je passe simplement de opérationnel à dysfonctionnel.

Passant à votre deuxième question, si j'ai un signal FSK changeant à 30 Hz avec deux fréquences, alors je ne peux émettre qu'à 30 bps car j'émets 30 symboles par seconde chacun correspondant à un bit de 1 ou 0. Si j'introduis 4 états ( = 4 fréquences) en introduisant deux fréquences entre les précédentes car mon niveau de bruit le permet, alors j'émets à 4x30bps = 120bps. Avec FSK, je ne pense pas que la bande passante reste constante lorsque l'on augmente le nombre d'états de cette façon, mais on peut sûrement trouver un moyen de la maintenir plus ou moins constante (compte tenu des limites de 3 dB car le spectre de fréquence théorique est illimité).

Pourquoi utiliser une onde carrée pour le signal "modulant"? C'est un choix dans cet encodage qui le rend "plus facile" à décoder car côté récepteur, il suffit d'avoir un filtre passe-bande pour chaque fréquence. Vous émettez toujours des "ondes sinusoïdales" - si vous n'émettez que des valeurs "1", vous n'avez qu'une seule fréquence. Cependant les décalages de fréquence impliquent la présence d '"harmoniques" qui permettent / accompagnent ces décalages de fréquence. D'autres codages présentent d'autres avantages et inconvénients. Par exemple, Direct Sequence Spread Spectrum permet d'avoir un signal inférieur au niveau de bruit (et donc d'avoir des besoins en puissance d'antenne plus faibles pour un débit binaire similaire dans de nombreux autres encodages), mais il est plus difficile à décoder (et donc à consommer plus (calculer) et complexité du circuit de décodage).

Quel que soit le codage choisi, il doit respecter le théorème de Shannon qui fixe la limite supérieure. Vous ne pouvez pas simplement appliquer Shannon à un encodage comme FSK si vous ne réglez pas le niveau de puissance, le nombre d'états et d'autres paramètres du signal FSK lorsque le niveau de bruit ou le niveau de signal (distance) change. Shannon vous permet de vérifier la puissance minimale absolue pour une bande passante et un débit de données donnés. La méthode de codage augmentera la limite de puissance minimale. Et lorsque les niveaux de puissance dépassent cette limite, le débit binaire restera simplement constant. L'application de Shannon est tout simplement incorrecte si vous voulez expliquer que plus de bande passante signifie un débit binaire plus élevé. L'exemple WiFi pourrait très bien s'appliquer en pratique pour une explication là-bas, mais ce n'est pas la réponse générale basée sur le théorème de Shannon.

Edit: relisant votre question, "Dans le second cas le débit sera au maximum de 660bps". En fait, je ne comprends pas complètement comment vous arrivez à 660bps car votre fréquence ne change que 30 fois par seconde et vous encodez sur deux fréquences qui est de 1 bit. D'où mes 30bps ci-dessus. Cet encodage permet une période complète à 30 Hz et 22 périodes complètes à 660 Hz pour chaque symbole. Mais 22 périodes ne changent pas le fait qu'il n'y a qu'un seul symbole. Il semble que quelque chose manque ou que le raisonnement soit erroné.

Edit2: J'ai compris - vous comparez avec la limite de nyquist. Cette limite nyquist vous indique la limite supérieure du débit de données en fonction d'une bande passante et du nombre d'états par symbole. Ici, l'encodage FSK sélectionné n'est pas optimal. Vous utilisez 30 Hz et 660 Hz. La limite de Nyquist indique que 30 bps = 2 * B * log2 (2), par conséquent, la bande passante doit être d'au moins B = 15 Hz. Sans vérifier en détail, il est plus ou moins dit que le réglage des fréquences FSK sur 645 Hz et 660 Hz serait une bonne optimisation de la bande passante (si FSK est par ailleurs un encodage optimal et sans vérifier la bande passante précise en raison des harmoniques - la 15 Hz peut être trop faible pour FSK).

Edit 3 - Explication suivante après une analyse plus approfondie pour expliquer davantage la source de confusion avec une autre réponse et une question originale.

• La formule de Nyquist est basée sur le théorème d'échantillonnage indiquant qu'un signal avec une largeur de bande B est parfaitement reconstruit à partir précisément de 2B échantillons par seconde.
• Par conséquent, les échantillons 2B peuvent chacun représenter un symbole (l'intensité peut déterminer quel symbole).
• Un signal avec une bande passante de 300 Hz peut être reconstruit avec 600 symboles - ni plus ni moins.
• C'est pourquoi le "crénelage" existe - la limitation de la bande passante peut donner à deux signaux différents la même apparence après l'échantillonnage.
• Si chaque symbole ne représente que 2 états, alors seulement 600 bps sont possibles.
• Le FSK de 30 Hz à 330 Hz peut représenter plus de 600 bps, mais vous devez alors prendre en compte plus de 2 états par symbole. Mais ce n'est plus une démodulation FSK car on ne peut pas seulement considérer la fréquence.