Répartition équitable et efficace des «biens familiaux»

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Considérons une économie d'échange avec deux biens, par exemple le mobilier de maison (x) et l'équipement électrique (y). La chose intéressante à propos de ces produits est que, lorsqu'une famille possède un bundle, tous les membres de la famille bénéficient du même bundle (c'est comme un "club good" mais uniquement pour la famille).

Il y a deux familles. Dans chaque famille, il existe différents membres avec des préférences différentes par rapport aux offres groupées. Supposons que toutes les préférences augmentent de façon monotone et strictement convexes.

Une allocation est une paire de bundles, pour la famille 1 et pour la famille 2. $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$

Une allocation est appelée sans envie si:

Tous les membres de la famille 1 pensent que est au moins aussi bon que ; $(x_1,y_1)$ $(x_2,y_2)$
Tous les membres de la famille 2 pensent que est au moins aussi bon que . $(x_2,y_2)$ $(x_1,y_1)$

Une allocation est appelée Pareto-efficient s'il n'y a pas d'autre allocation de bundles aux familles telle que tous les membres de toutes les familles préfèrent faiblement et au moins un membre d'une famille préfère strictement.

Dans quelles conditions une allocation Pareto-efficace sans envie existe-t-elle?

Si chaque famille a un seul membre, il existe une allocation sans envie Pareto-efficace; c'est un théorème célèbre de Varian . Ce théorème a-t-il été généralisé des individus aux familles?

— Erel Segal-Halevi
source

Définition très forte de l'absence d'envie. On devinerait que vous agrégeriez en quelque sorte les préférences en premier, puis affirmeriez qu'il n'y a pas d'envie selon les préférences agrégées.

— Giskard

@denesp en effet, j'ai pensé à agréger les préférences, par exemple en utilisant une fonction de protection sociale. Mais, chaque sélection d'une telle fonction serait arbitraire et pas suffisamment motivée.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Voulez-vous que nous supposions également que l'utilité de chaque membre de chaque famille augmente faiblement dans la quantité de

et

leur famille reçoit? Si oui, j'ai une condition très insatisfaisante pour vous en vertu de laquelle une allocation Pareto-efficace et sans envie existe: Supposons que, pour chaque famille, chaque membre de cette famille ait les mêmes préférences ...: P

x

$x$

y

$y$

— Shane

La monotonie faible de @Shane semble être une hypothèse raisonnable. Si, dans chaque famille, tous les membres ont les mêmes préférences, alors chaque famille est en fait comme un seul agent, nous sommes donc de retour au réglage standard ...

— Erel Segal-Halevi

Qu'en est-il du cas où

et

? En supposant une faible monotonie, cela doit être Pareto et sans envie. À partir de là, nous pourrions peut-être faire quelques petits changements epsilon?

x_{1} = x_{2}

$x_1 = x_2$

y_{1} = y_{2}

$y_1 = y_2$

— Kitsune Cavalry

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À l'heure actuelle, je ne suis pas sûr de l'équivalence du réétiquetage, et donc de l'utilité de cette réponse - voir les commentaires ci-dessous.

C'est le début d'une réponse et d'une tentative de démontrer la force des hypothèses nécessaires pour garantir l'existence.

Transformons le problème en un problème équivalent mais un peu plus facile à travailler. Au lieu d'indexer sur les familles, indexons plutôt les agents (membres des familles). La clé de ce réétiquetage est de comprendre que les familles peuvent être écrites sous forme de contraintes: si les agents et appartiennent à la même famille, alors et . $i$ $j$ $x_i=x_j$ $y_i = y_j$

Maintenant, nous sommes de retour dans l'environnement standard avec des agents individuels (pas des familles) mais avec ces contraintes familiales. Rappelez-vous la preuve du théorème de Varian, que vous liez dans la question. Il utilise l'existence d'un équilibre concurrentiel à revenus égaux. Dans ce contexte, nous aurions besoin de l'existence d'un équilibre concurrentiel à revenus égaux dans lequel les contraintes familiales seraient également respectées. Cela va être très difficile à faire. Par exemple, considérons et sont dans une famille, et $i$ $j$ où est minuscule. Ces préférences sont monotones et convexes. Fondamentalement, un membre de la famille se soucie de et l'autre se soucie de . Si chacun des deux agents achète et pour maximiser son utilité, vous ne vous attendez pas à ce que ou dans l'équilibre concurrentiel (voiraddendaà la fin).

u_{je} = X_{je} + ε y_{je} et u_{j} = ε X_{j} + y_{j}

$u_i=x_i + \varepsilon y_i \:\: \text{ and } \:\: u_j = \varepsilon x_j + y_j$

ε > 0

$\varepsilon>0$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x_{i}^{*} = x_{j}^{*}

$x_i^* = x_j^*$

y_{i}^{*} = y_{j}^{*}

$y_i^* = y_j^*$

C'est pourquoi vous avez certainement besoin d'une hypothèse sur les similitudes de préférence au sein des familles (au moins pour utiliser une version de la preuve de Varian). Mon sentiment est que si vous me donnez une petite différence arbitraire dans les préférences entre les membres de la famille, je peux construire un exemple autour d'elle où il n'y a pas de CEEI dans lequel ils choisissent la même allocation. Et puis, à tout le moins, vous ne pouvez pas utiliser la preuve de Varian.

Deux questions:

Êtes-vous d'accord que ma reformulation du problème équivaut formellement à vous?
Pouvez-vous penser à une hypothèse plus faible que l'hypothèse d'homogénéité des préférences au sein de la famille que je peux essayer d'invalider avec un contre-exemple?

Addendum: N'oubliez pas que dans un équilibre concurrentiel, le taux de substitution marginal (MRS) de chaque agent est égal au ratio des prix. Ici, mes agents ont des MRS constants et différents, il ne peut donc exister aucun équilibre concurrentiel avec un rapport de prix égal à leurs deux MRS. Si chaque agent a un MRS qui varie, alors peut-être qu'ils pourraient être égaux au rapport de prix d'équilibre. Alors peut-être pourriez-vous vous en tirer avec une notion d'homogénéité locale des préférences familiales. Mais vous devez les faire être localement homogènes à l'équilibre concurrentiel, ce qui est exactement ce que vous essayez de prouver, donc ce serait un peu circulaire.

Remarque importante: Comme mentionné précédemment, je suppose que la seule façon de prouver l'existence est de savoir comment Varian l'a fait, via CEEI. Il peut y avoir d'autres techniques de preuve qui contournent ces problèmes, mais je ne le pense pas.

Au-delà du CEEI: comme le souligne le PO dans les commentaires, prouver l'existence de PEEF par le biais du CEEI comme le fait Varian est quelque peu restrictif. Je n'ai pas grand-chose à dire sur la preuve directe de l'existence de PEEF, mais ce qui suit est facilement apparent: pour toute allocation satisfaisant à votre condition d'efficacité Pareto (ignorez la propension à l'envie pour le moment), pour tout tel que , $i,j$ $x_i, x_j, y_i, y_j > 0$

M R S_{je} = M R S_{j}

$MRS_i = MRS_j$ Si ce n'était pas vrai, il y aurait une amélioration de Pareto. L'équilibre concurrentiel équivaut essentiellement aux MRS par le biais du rapport de prix, mais vous devez toujours assimiler ces MRS juste pour trouver une allocation efficace de Pareto. Je pense que les contraintes familiales rendront cela très difficile - il n'est pas difficile de trouver un environnement et des contraintes familiales telles qu'il n'existe pas d'équilibre Pareto efficace satisfaisant ces contraintes. Dans tous les cas, cela pourrait être une autre étape partielle vers une réponse: Oubliez l'envie de ne pas l'envie. Essayez d'abord de formuler une hypothèse sur les préférences (et peut-être sur les contraintes familiales) qui garantit l'existence d'une allocation Pareto efficace qui réponde aux contraintes familiales. Alors, craignez l'envie.

— Shane
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u_{1} = 2 x_{1} + y_{1}

$u_1 = 2 x_1 + y_1$

u_{2} = x_{2} + 2 y_{2}

$u_2 = x_2 + 2 y_2$

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J'ai trouvé dans l'article original de Varian: sciencedirect.com/science/article/pii/0022053174900751 des preuves d'existence des allocations PEEF, qui ne dépendent pas du CEEI et sont donc valables même dans les situations où un CEEI n'existe pas (les préférences ne sont pas strictement convexe). Jusqu'à présent, je n'ai pas réussi à comprendre ces preuves, mais elles peuvent être pertinentes.

— Erel Segal-Halevi

@ ErelSegal-Halevi Dans votre exemple, toute allocation dans laquelle les deux agents obtiennent des quantités strictement positives des deux biens est Pareto inefficace, non? J'ai du mal à comprendre vos gammes. Plus généralement, cependant, je suis d'accord avec vous. J'ai ajouté une section supplémentaire sur la vérification directe des PEEF (sans CEEI). Je ne pense pas que vous le trouverez particulièrement satisfaisant, mais c'est à peu près tout ce qui m'est évident en ce moment.

— Shane

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[(x_{1}, 0), (4 - x_{1}, 4)]

$[(x_1,0),(4-x_1,4)]$

x_{1} \in [3, 4]

$x_1\in [3,4]$

[(4, 4 - y_{2}), (0, y_{2})]

$[(4,4-y_2),(0,y_2)]$

y_{2} \in [3, 4]

$y_2\in [3,4]$

— Erel Segal-Halevi

1

x_{i}, x_{j}, y_{i}, y_{j}

$x_i,x_j,y_i,y_j$

i

$i$

j

$j$

x_{i} = x_{j} = 1

$x_i = x_j = 1$

x

$x$ , pas 2. Maintenant, je remets en question l'équivalence du réétiquetage. Les familles ne sont pas seulement une contrainte (dans la mesure où les gens doivent partager les mêmes biens), elles sont également un avantage, dans la mesure où les biens sont publics / partagés au sein de la famille.

— Shane

2

$n_u$ $n_v$ $i$

\begin{array}{rcl} u_{je} (X_{u}, y_{u}) = {une}_{je} X_{u} + y_{u} \end{array}

$\begin{eqnarray*} u_i(x_u, y_u) = a_ix_u + y_u \end{eqnarray*}$

a_{i}

$a_i$

i \in {1, 2, \dots, n_{u}}

$i\in\{1,2,\ldots, n_u\}$

$j$

\begin{array}{rcl} v_{j} (X_{v}, y_{v}) = b_{j} X_{v} + y_{v} \end{array}

$\begin{eqnarray*} v_j(x_v, y_v) = b_jx_v + y_v \end{eqnarray*}$

b_{j}

$b_j$

j \in {1, 2, \dots, n_{v}}

$j\in\{1,2,\ldots, n_v\}$

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

$X$ $Y$ $(\omega_X, \omega_Y)$

$\theta \in [\max_j b_j, \min_i a_i]$ $m := \displaystyle\frac{\theta\omega_X}{2} + \frac{\omega_Y}{2}$

$\displaystyle\frac{m}{\theta} \leq \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\frac{m}{\theta}, 0\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(\omega_X - \frac{m}{\theta}, \omega_Y\right)$ $\displaystyle\frac{m}{\theta} > \omega_X$ $\displaystyle (x_u, y_u) = \left(\omega_X, m-\theta\omega_X\right)$ $\displaystyle (x_v, y_v) = \left(0, m\right)$

— Amit
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min_{i} a_{i} \geq max_{j} b_{j}

$\min_i a_i \geq \max_j b_j$

Tous les membres de la famille U ont un MRS plus élevé que tous les membres de la famille V.

— Amit

Je pense que pour 2 familles et les préférences linéaires, cette exigence peut être supprimée. Je dois encore travailler sur les détails.

— Erel Segal-Halevi

Je pense qu'il sera difficile de supprimer cette exigence car nous voulons que l'allocation soit exempte d'envie. Les conditions peuvent ne pas sembler propres même si elles sont en quelque sorte détendues. Mais ce résultat vaut pour une plus grande classe de fonctions utilitaires. Ce sera une bonne idée d'étendre le résultat pour inclure des préférences d'un autre type. Par exemple: Une version de celui-ci peut également être prouvée pour les préférences de Cobb Douglas.

— Amit

1

Supposons que les préférences de tous les agents dans toutes les familles soient monotones et convexes (les hypothèses standard de la théorie du consommateur).

Ensuite, une allocation sans envie Pareto-efficace existe toujours lorsqu'il y a deux familles. Cependant, il pourrait ne pas exister lorsqu'il y a trois familles ou plus.

Des preuves et des exemples peuvent être trouvés dans ce document de travail .

— Erel Segal-Halevi
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L'énoncé du problème semble impliquer que X et Y ne peuvent pas être des substituts (un appareil électrique ne peut pas être utilisé comme mobilier de maison).

Une allocation sans envie Pareto-efficace existe lorsque:

Pour au moins un agent, au moins certaines marchandises ont une utilité négative ou sont des compléments, et les agents peuvent choisir de ne pas consommer.

Exemple:

Les agents A et B appartiennent à la famille F1.
La fonction d'utilité de l'agent A est:

Ua = -X1-X2-Y1-Y2

La fonction d'utilité de l'agent B est:

Ub = X1-X2 + Y1-Y2

Les agents C et D font partie de la famille 2.
L'agent C a une fonction utilitaire:

Uc = -X1-X2-Y1-Y2

L'agent D a une fonction utilitaire:

Ud = -X1 + X2-Y1 + Y2

Solution:

F1 préfère (X1, Y1) et l'agent A choisira de ne consommer aucun bien.

F2 préfère (X2, Y2) et l'agent C choisi pour ne consommer aucun bien.

Ce sont vraiment des arguments sémantiques et il n'y a pas d'équilibre significatif sans assumer des préférences partagées.

— DJ Sims
source

Pourriez-vous peut-être préciser vos déclarations? Par exemple, quels sont les «compléments négatifs»? Et s'il vous plaît, proposez au moins un argument heuristique soutenant les affirmations, sinon une preuve complète, afin que nous puissions comprendre votre raisonnement.

— Shane

[0, x_{1}]

$[0,x_1]$

Modifié la réponse. Vous avez raison sur le deuxième point. Si les agents doivent consommer, l'argument ne s'applique pas.

— DJ Sims