Prouver que la correspondance budgétaire est supérieure semi-continue

Laissez $p \in \mathbb{R}_+^L$ être vecteur de prix et laisser $w \in \mathbb{R}_+$ soit la richesse du consommateur. Définir la correspondance budgétaire $B(p,w) =\{x \in \mathbb{R}_+^L : p\cdot x\le w \}$ . Comment prouver que cette correspondance budgétaire est semi-continue supérieure?

Une correspondance est hémi-continue supérieure si, et où pour chaque c'est vrai , assurera .$Γ:R_+^{L+1}+→R^L_+$$(p_n,w_n)→(p,w)$$x_n \to x$$n$$x_n \in \Gamma(p_n,w_n)$$x \in \Gamma(p,w)$

J'ai trouvé une solution possible utilisant le théorème de Bolzano – Weierstrass de Mark Dean au lien suivant http://www.econ.brown.edu/fac/mark_dean/Maths_HW4_13.pdf . Mais je n’ai pas compris la dernière étape de son approche, dans laquelle il affirme que si chaque séquence a une sous-séquence convergente convergeant vers un point de l’ensemble , alors nous avons une hémi-continuité pour le budget défini, ne sommes-nous pas censés montrer que converge vers ? Est-ce que je manque un théorème?$x_m \in B(p^m, w_m)$$B(p^*, w^*)$$x_m$$B(p,w)$

Je suppose que les faits suivants ne nécessitent pas de preuves pour les besoins de cette question.

Fait 1: Soit une suite dans tel que . Ensuite, pour chaque , nous avons .R K lim n → ∞ h n = h ∈ R K i ∈ { 1 , 2 , ... , K } h i n → h $h_n$$\mathbb{R}^K$$\lim_{n\rightarrow \infty} h_n =h\in \mathbb{R}^K$$i\in \{1,2,\ldots,K\}$$h^i_n\rightarrow h^i$

Fait 2: Soit et une séquence dans telle que et . Ensuite,q n R lim n → ∞ z n = z ∈ $z_n$$q_n$$\mathbb{R}$$\lim_{n\rightarrow \infty} z_n =z\in \mathbb{R}$$\lim_{n\rightarrow \infty} q_n =q\in \mathbb{R}$

i) $\lim_{n\rightarrow \infty}(z_n\pm q_n)=z\pm q$

ii) $\lim_{n\rightarrow \infty}(z_n \times q_n)=z\times q$

Fait 3: Soit dans telle sorte que pour chaque , et . Ensuite, .R n z n ≤ a ∈ R $z_n$$\mathbb{R}$$n$$z_n\leq a\in \mathbb{R}$z≤$\lim_{n\rightarrow \infty} z_n =z$$z\leq a$

Définition: Une correspondance est supérieur en si pour tout voisinage ouvert de de . Il existe un voisinage de tel que pour tout en , .x ∈ X V G ( x ) U x x $G:X\rightrightarrows Y$$x\in X$$V$$G(x)$$U$$x$$x'$G ( x ' ) ⊆ $U$$G(x')\subseteq V$

Contrairement aux remarques précédentes, le fait suivant nécessite une preuve.

Fait 4: Soit une correspondance. Si pour chaque et il existe une sous-séquence de avec et , alors est l'hémisphère supérieur . De plus, si une valeur compacte, alors l’inverse est également vrai.x n → x ∈ X y n ∈ G ( x n ) y n k y n y n k$G:X\rightrightarrows Y$$x_n\rightarrow x\in X$$y_n\in G(x_n)$$y_{n_k}$$y_n$y ∈ G ( x ) G $y_{n_k}\rightarrow y$$y\in G(x)$$G$$G$

Revenons maintenant à votre question. Soit une séquence dans telle que . De plus, laissez pour tout .R L + 1 + + lim n → ∞ ( p n , w n ) = ( p , w ) ∈ R L + 1 + + x $(p_n,w_n)$$\mathbb{R}^{L+1}_{++}$$\lim_{n\rightarrow \infty} (p_n,w_n) =(p,w)\in \mathbb{R}^{L+1}_{++}$$x_n\in B(p_n,w_n)$$n$

Soit . Puisque , il doit être vrai que car nous aurions pu créer une sous-séquence de pour lequel qui serait en contradiction avec . Des arguments similaires impliquerait que puisque .w n → w ∈ R + + w * ∈ R + + w n k w n w n k → ∞ w n → w p * = min i ( inf n p i n ) > 0 p $w^\ast = \sup_n w_n$$w_n\rightarrow w\in \mathbb{R}_{++}$$w^\ast \in \mathbb{R}_{++}$$w_{n_k}$$w_n$$w_{n_k}\rightarrow\infty$$w_n\rightarrow w$$p^{\ast} = \min_i( \inf_n p^i_n)>0$$p^n\rightarrow p\in\mathbb{R}_{++}^L$

Les observations précédentes impliquent que pour tout et pour tout nous avons . Par conséquent, la séquence est liée. Selon le théorème de Bolzano-Weierstrass, a une sous-séquence convergente avec . A partir de maintenant, nous supprimerons l'indice .i x i n ≤ w ∗ / p ∗ x n x n x n k x n k → x $n$$i$$x_n^i\leq w^\ast/p^\ast$$x_n$$x_n$$x_{n_k}$$x_{n_k}\rightarrow x$$k$

Puisque , nous avons . Soit . En fait 1, nous avons et pour chaque , et en fait 2, nous avons .Σ i p i n × x i n - w n ≤ 0 c n = Σ i p i n × x i n p i n → p i ix i n → x i i c n = ∑ i p i n × x $x_n\in B(p_n,w_n)$$\sum_i p_n^i\times x_n^i-w_n\leq 0$$c_n = \sum_i p_n^i\times x_n^i$$p_n^i\rightarrow p_i$$x_n^i\rightarrow x_i$$i$$c_n=\sum_i p_n^i\times x_n^i\rightarrow p\cdot x$

En fait 2, . Le fait 3 implique que , ce qui implique à son tour que . Ceci conclut la preuve que la correspondance budgétaire est haute hémicontinue.( p ⋅ x - w ) ≤ $c_n-w_n\rightarrow (p\cdot x-w)$$(p\cdot x-w)\leq 0$$x\in B(p,w)$

Réponse originale (incorrecte)

La réponse suivante a été postée plus tôt. Cependant, j'ai réalisé qu'il y a une erreur avec celui-ci. Je garde cela ici car la question initiale se demandait précisément comment le théorème de Bolzano-Weierstrass est pertinent pour la question et la comparaison de cette réponse incorrecte et la version correcte montrent pourquoi nous aurions besoin de ce théorème.

Définition: Une correspondance est supérieur hémicontinu à si pour toutes les séquences avec , pour tout avec , nous avons .x ∈ X x n ∈ X x n → x y n ∈ G ( x n ) $G:X\rightrightarrows Y$$x\in X$$x_n\in X$$x_n\rightarrow x$$y_n\in G(x_n)$y ∈ G ( x $y_n \rightarrow y \in Y$$y\in G(x)$

Revenons maintenant à votre question. Soit une séquence dans telle que . De plus, laissez pour tout , avec .R L + 1 lim n → ∞ ( p n , w n ) = ( p , w ) x n ∈ B ( p n , $(p_n,w_n)$$\mathbb{R}^{L+1}$$\lim_{n\rightarrow \infty} (p_n,w_n) =(p,w)$n x n → $x_n\in B(p_n,w_n)$$n$$x_n\rightarrow x$

Puisque , nous avons . Soit . En fait 1, nous avons et pour chaque , et en fait 2, nous avons .Σ i p i n × x i n - w n ≤ 0 c n = Σ i p i n × x i n p i n → p i ix i n → x i i c n$x_n\in B(p_n,w_n)$$\sum_i p_n^i\times x_n^i-w_n\leq 0$$c_n = \sum_i p_n^i\times x_n^i$$p_n^i\rightarrow p_i$$x_n^i\rightarrow x_i$$i$$c_n=\sum_i p_n^i\times x_n^i\rightarrow p\cdot x$

En fait 2, . Le fait 3 implique que , ce qui implique à son tour que . Ceci conclut la preuve que la correspondance budgétaire est haute hémicontinue.( p ⋅ x - w ) ≤ 0 x ∈ B ( p , w $c_n-w_n\rightarrow (p\cdot x-w)$$(p\cdot x-w)\leq 0$$x\in B(p,w)$