Explication intuitive de

Quelqu'un peut-il fournir une explication intuitive de la raison pour laquelle la matrice de Slutsky multipliée par le vecteur de prix donne une matrice nulle?

Je sais que c'est vrai mais je ne comprends pas vraiment pourquoi c'est vrai. Quelqu'un peut-il aider ici?

Il s'agit d'une propriété mathématique générale de la matrice dérivée seconde / Hessienne de fonctions multivariées qui sont homogènes de degré un.

La fonction Dépenses est homogène de degré un dans les prix. Pourquoi? Si tous les prix changent dans la même proportion (c'est ainsi que nous vérifions la propriété mathématique de l'homogénéité), les prix relatifs ne changent pas. Si les prix relatifs ne changent pas, la composition quantitative du paquet de consommation compensée au coût minimum pour atteindre une utilité donnée ne change pas du tout . Puis, comme tous les prix ont augmenté dans la même proportion, les parts budgétaires restent les mêmes, et les dépenses nécessaires pour atteindre la même utilité augmentent dans cette même proportion: homogénéité de premier degré.$E$

Par dualité, le vecteur de demande hicksienne est le gradient de la fonction de dépenses, .$H = \nabla_p E$

Le vecteur de demande Hicksian, nous donne les quantités à coût minimum demandées. En raison de l'homogénéité du degré un de la fonction Dépenses, le produit intérieur du vecteur de demande hicksien multiplié par le vecteur prix est égal à la fonction Dépenses. Cela devrait également être intuitif: nous multiplions simplement chaque quantité demandée par le prix unitaire qui doit être payé pour cela, et en additionnant ces produits, nous obtenons le total des dépenses que nous devons engager afin d'acquérir le forfait à coût minimum pour une utilité donnée.

$E = H\cdot p$$\frac {\partial}{\partial p}E = H$

$$\frac {\partial}{\partial p}(H\cdot p) = H \implies H + \frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = H$$

et il doit être vrai que

$$\frac {\partial H}{\partial p}\cdot p = 0$$

$k$$k-1$

$\frac {\partial^2 E}{\partial p^2}=\frac {\partial H}{\partial p} = S(p,w)$$S(w,p) \cdot p = 0$

Le résultat découle donc de l'homogénéité du premier degré de la fonction Dépenses. Existe-t-il une explication intuitive, analogue à l'intuition derrière l'homogénéité du degré un de la fonction Dépenses? Eh bien, la première vient directement de la seconde, il est donc difficile de trouver un argument intuitif "séparé". On pourrait dire de manière informelle que les quantités compensées demandées sont "indépendantes" (non affectées par) la variation des prix lorsque les prix relatifs restent les mêmes. Ensuite, en termes géométriques, cela signifie que les vecteurs de taux de variation des quantités compensées demandées (ce que contient chaque ligne de la matrice de Slutsky), sont orthogonaux au vecteur prix.

Je ne sais pas si vous considérerez cela comme une explication, ou plutôt comme une preuve.

$f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$p^\ast$$\delta$

$$f(p^\ast+\delta)\simeq f(p^\ast)+\delta\times \left.\frac{df}{dp}\right|_{p=p^\ast}$$

$h_i:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$

$$h_i(\mathbf{p^\ast+\delta})\simeq h_i(\mathbf{p^\ast})+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_1}\delta_1\right|_{p=p^\ast}+\dots+\left.\frac{\partial h_i(\mathbf{p})}{\partial p_n} \delta_n\right|_{p=p^\ast}$$

$\mathbf{p^\ast}$$\mathbf{p^\ast(1+\Delta)}$${p_j^\ast}$$\Delta \times {p_j^\ast}$$h_i$$\delta$$\Delta \mathbf{p^\ast}$$S(\mathbf{p},w)\cdot \mathbf{p}=0$

Autrement dit, puisque la demande hicksienne de tout bien ne répond pas à un changement de prix qui maintient les prix relatifs inchangés, alors si nous regardons le total des effets individuels de ces changements de prix sur un bien, nous devrions observer une 0 changement.

$x(\alpha p,\alpha w)=x(p,w) \forall \alpha > 0$$D_px(p,w)p+D_wx(p,w)w=0$$p'x(p,w)=w$$x(p,w)'p=w$$S(p,w)p=0$