Croissance stochastique en temps continu

Littérature: voir Chang (1988) pour la partie théorique et Achdou et al. (2015) pour la partie numérique respectivement.

Modèle

Considérons le problème de croissance optimal stochastique suivant en notation par habitant. tout est standard sauf pour qui est le incrément d'un processus de Wiener standard, c'est-à-dire . Le taux de croissance de la population a une moyenne et une variance .

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$

d z

$dz$

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$

n

$n$

σ^{2}

$\sigma^2$

Solution analytique

Nous supposons que la technologie Cobb-Douglas

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

et l'utilitaire CRRA

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$ Configurer le Hamilton-Jacobi -Équation de Bellman (HJB-e)

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

La condition de premier ordre (FOC) lit

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$ où

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$ désigne la fonction de politique.

Remplacez FOC en HJB-e

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

Nous supposons une forme fonctionnelle de avec ( Posch (2009, éq. 41) ) $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

où est une constante. Les dérivées de premier et de second ordre de sont données par $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Le HJB-e lit alors

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

Le HJB-e maximisé est vrai si les conditions suivantes sont respectées

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Remplacez en qui donne finalement la vraie fonction de valeur $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Comment se fait-il que ne dépende pas de ? $v$ $\sigma$

La fonction de valeur déterministe et stochastique doit donc être la même. La fonction de politique est alors facilement donnée par (utiliser FOC et dérivée de la fonction de valeur)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Notez que cette fonction ne dépend pas non plus de . $\sigma$

Approximation numérique

J'ai résolu le HJB-e par un schéma au près. Tolérance d'erreur . Dans la figure ci-dessous, je trace la fonction de politique pour varier . Pour j'arrive à la vraie solution (violet). Mais pour la fonction de politique approximative s'écarte de la vraie. Ce qui ne devrait pas être le cas, car ne dépend pas de , non? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Quelqu'un peut-il confirmer que les fonctions de politique approximées devraient être les mêmes pour n'importe quel , puisque la vraie est indépendante de ? $\sigma$ $\sigma$

— Aucune idée
source

Ce qui me dérange ici, c'est la première condition "ssi" après avoir écrit "le HJB-e maximisé est vrai ssi les conditions suivantes sont réunies": c'est une relation d' égalité très spécifique qui doit tenir entre tous les paramètres du modèle - paramètres de préférence, croissance démographique, productivité du capital et volatilité. Je me demande: peut-on vraiment travailler avec des fonctions devinées dont la validité dépend d'une condition aussi étroite sur les paramètres?

— Alecos Papadopoulos

Eh bien, ici, je corrige en fait en fonction des quatre paramètres restants. Donc l'équation est toujours vraie si en plus, est vrai . Je me demande: y a-t-il une règle quand deviner une fonction n'est pas autorisée? Je veux dire, nous sommes intéressés à trouver la vraie solution et dans certaines conditions spécifiques, nous obtenons la vraie solution. Je ne sais pas ce qui vous dérange ici d'un point de vue théorique? Bien sûr, cela peut limiter le travail empirique, mais ce n'est pas le point ici. Nous sommes plutôt intéressés à résoudre le HJBe et cela peut être fait. Si un empiriste (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— désemparé le

estime et nous constatons que la condition est violée, alors nous pouvons rejeter le modèle. Cependant, la solution reste vraie en principe. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— désemparé le

Ma préoccupation ne concerne pas la validité empirique. Ce que je me demande, c'est dans quelle mesure la supposition spécifique sur la forme fonctionnelle de la fonction de valeur dépend de cette relation entre les paramètres. Sans référence à des données empiriques, si nous supposons que la relation ne tient pas, alors quoi? Doit-on deviner une fonction de valeur qui n'est même pas exponentielle en , ou suffirait-il de conserver la structure exponentielle mais d'essayer de différentes manières d'y inclure les paramètres? (au fait, je regarde aussi votre question principale, car cette discussion est probablement périphérique)

k

$k$

— Alecos Papadopoulos

Êtes-vous sûr que le problème d'optimisation est correctement indiqué? Il n'y a pas, par exemple, d'attente attendue sur disons, ? Comme il est dit maintenant, et donc supposent probablement n'importe quelle valeur étant donné le processus de Wiener .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans

Plus d'un commentaire:

Il devrait y avoir un opérateur d'attente dans l'énoncé du problème, sinon le problème n'a pas de sens.

Que "... la fonction de valeur déterministe et stochastique doit être la même ..." n'est pas tout à fait exact. La valeur de est cruciale dans la restriction $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Si , alors vraisemblablement pour et économiquement raisonnables , auquel cas le problème déterministe peut être mal posé. Ce qui est vrai, c'est que la fonction de valeur stochastique ne prend la forme donnée que si la restriction de paramètre est vérifiée. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Suppression du terme Ito du côté droit $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

la restriction peut s'écrire

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

À droite, nous avons une élasticité du terme de substitution intertemporelle et un terme d'aversion au risque . Ce que la restriction dit, c'est qu'avec un choix particulier de , ils se compensent, jusqu'à la préférence temporelle et la dérive . Par conséquent, la fonction de valeur est indépendante de . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Le fait que la fonction de valeur soit indépendante de est un artefact de la restriction et du choix de CRRA . Pas vrai en général. $\sigma$ $u$

— Michael
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