Axiome de continuité dans la théorie de l'utilité attendue

Prenez la définition suivante de continuité.

La relation de préférence sur l'espace des loteries \ mathcal L est continue si pour tout L, L ', L' '\ in \ mathcal L , les ensembles S_1 = \ {\ alpha \ in [0,1]: \ alpha L + (1- \ alpha) L '\ succsim L' '\} et S_2 = \ {\ alpha \ in [0,1]: L' '\ succsim \ alpha L + (1- \ alpha) L' \} sont tous deux fermés.$\succsim$$\mathcal L$$L,L',L''\in\mathcal L$

$$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$

Est-il nécessairement vrai que $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Si oui, pourquoi?

C'est.
Avant la continuité, qui est une propriété de la relation de préférence, la relation de préférence elle-même a été définie comme étant une relation binaire caractérisée par la transitivité et, pour commencer, par l' exhaustivité . Ensuite, si , cela signifie qu'il existe des valeurs de quelque part dans , appelez-les pour lesquelles $\succsim$
$S_1\cup S_2 \neq [0,1]$$\alpha$$[0,1]$$\tilde \alpha$

ni

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

ni

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

En d'autres termes, pour ces « s, la paire ne peuvent pas être commandés à tout . Mais cela contredit le fondement de l'exhaustivité qui est nécessaire pour obtenir même une relation de préférence (comme bien sûr utilisé dans notre théorie. Les psychologues, je suppose, ne seraient pas d'accord).$\tilde \alpha$

Notez également que l'exhaustivité est définie sur toutes les paires imaginables, même si, dans une situation spécifique, nous avons choisi de restreindre l'espace des loteries à quelque chose de plus petit. Que les loteries à l'étude appartiennent à l'espace de loterie spécifié, cela n'a pas vraiment d'importance. La personne ayant les préférences doit pouvoir les commander dans tous les cas, même dans un scénario "hypothétique" (bien qu'à proprement parler, pour un problème spécifique, nous avons le "luxe" de n'imposer l'exhaustivité qu'en ce qui concerne les loteries disponibles, tandis que " rester agnostique "en ce qui concerne l'exhaustivité si l'on agrandit l'espace de loterie. Pourtant cet" affaiblissement "de l'imposition de l'axiome d'exhaustivité n'apporte pas vraiment de gain).