Devinez et vérifiez

En programmation dynamique, la méthode des coefficients indéterminés est parfois appelée «deviner et vérifier». J'ai périodiquement entendu qu'il y avait des suppositions canoniques à faire.

En particulier, j'ai vu

$V(k) = A + B\ln(k)$

$V(k) = \frac{Bk^{1-\sigma}}{1-\sigma}$

Le premier s'applique à l'utilitaire de journalisation tandis que le second est lié aux préférences de la CRRA. Quelles autres suppositions canoniques existent-elles et sont-elles généralement liées à la forme particulière de la fonction de retour?

Edit : Pour ceux qui ne connaissent pas les programmes dynamiques, ce que nous essayons de faire ici est de trouver des formes fermées pour les coefficients ( par exemple et ). Pour simplifier à l'excès, l'équation fonctionnelle prend généralement la forme générique , où décrit l'évolution de la variable d'état . Pour l' essentiel, la valeur d'être dans un état aujourd'hui dépend de la fonction de retour d'aujourd'hui et une valeur actualisée de ce que va être demain . $A$ $B$ $V(k) = \max\bigl\{F(k,u) +\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)\bigr\}$ $g(\cdot,\cdot)$ $k$ $k$ $F(k,u)$ $k$ $\beta V\bigl(g(k,u)\bigr)$ $u$ représente toutes les autres variables non étatiques qui, selon vous, influencent le retour.

Parfois, il est possible d'obtenir une solution de forme fermée pour $V(k)$ (... note: nous ne résolvons pas seulement pour $V(k)$ car le côté droit est une quantité maximisée). Cela implique généralement de connaître quelque chose sur la fonction de retour $F(k,u)$ puis de faire une supposition sur la forme fonctionnelle de $V(k)$ . Nous pouvons ensuite répéter pour voir si notre supposition donne une solution de forme fermée pour $V(k)$ . En particulier, cela inclurait des formes fermées pour les coefficients dans la supposition (d'où la méthode des coefficients indéterminés).

macroeconomics dynamic-programming

— Pat W.
source

Cela dépend du type de données dont vous disposez. En général, presque toutes les fonctions peuvent être prises. Mais si vous pensez que les données sont distribuées comme une fonction utilitaire, vous pouvez prendre Dans ce cas, vous pouvez linéariser l'équation: Pour estimer les coefficients et vous pouvez appliquer la méthode des moindres carrés: en.wikipedia.org/wiki/Least_squares

U (x, y) = x^{α} \cdot y^{β}

$U(x,y)=x^{\alpha}\cdot y^{\beta}$

l n (U) = α \cdot l n (x) + β \cdot l n (y)

$ln(U)=\alpha\cdot ln( x)+\beta \cdot ln(y)$

α

$\alpha$

β

$\beta$

— callculus

@calculus Il ne demande pas d'estimation de et . Il pose des questions sur la programmation dynamique et la méthode de deviner et vérifier comme méthode pour obtenir la fonction de valeur qui correspond à des fonctions d'utilité spécifiques.

α

$\alpha$

β

$\beta$

— cc7768

@ cc7768 Cette question n'est pas très spécifique. Je ne sais pas ce que l’OP voulait dire par programmation dynamique dans ce contexte. Je voulais juste donner quelques indices. J'avais l'impression que le PO n'était pas sûr de ce qu'il demandait. Le PO peut effectuer une modification pour clarification.

— callculus

Une autre forme quelque peu canonique est la fonction de valeur pour les préférences sensibles au risque lorsque la consommation suit une marche aléatoire avec dérive (il existe également des versions incluant le capital - voir Backus Ferriere Zin 2014).

c_{t} = μ + c_{t - 1} + σ_{c} ε_{t}

$c_t = \mu + c_{t-1} + \sigma_c \varepsilon_{t}$

Commencez par les préférences données sous la forme d'Epstein-Zin avec une fonction d'équivalence de certitude de la forme : $\mu_t(x) = E_t[x_{t+1}^\alpha]^{\frac{1}{\alpha}}$

V_{t} = {((1 - β) C_{t}^{ρ} + β μ_{t} (V_{t + 1}))}^{\frac{1}{ρ}}

$V_t = \left( (1 - \beta) C_t^{\rho} + \beta \mu_t(V_{t+1}) \right)^{\frac{1}{\rho}}$

puis laisser nous donne $\rho \rightarrow 0$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[μ_{t} (V_{t})]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[\mu_t(V_t) \right]^{\beta}$

V_{t} = C_{t}^{1 - β} {[E_{t} [V_{t}^{α}]^{\frac{1}{α}}]}^{β}

$V_t = C_t^{1 - \beta} \left[E_t[V_t^{\alpha}]^{\frac{1}{\alpha}} \right]^{\beta}$

La prise de journaux nous donne des préférences sensibles au risque comme présenté dans Hansen Sargent 1995, Tallarini 2000, etc ...

Définissez et puis nous voyons que: $U_t = \log(V_t)/(1-\beta)$ $\theta = \frac{-1}{(1-\beta) \alpha}$

U_{t} = Journal (C_{t}) - β θ Journal [E_{t} [\exp (\frac{- U_{t + 1}}{θ})]]

$U_t = \log(C_t) - \beta \theta \log \left[ E_t \left[ \exp \left( \frac{-U_{t+1}}{\theta} \right) \right] \right]$

La forme de cette fonction de valeur peut être devinée comme:

U_{t} = γ_{0} + γ c_{t}

$U_t = \gamma_0 + \gamma c_t$

Références:

David Backus, Axelle Ferriere et Stanely Zin. Risque et ambiguïté dans les modèles de cycles économiques. Conférence Carnegie-Rochester-NYU. 2014.
Lars Ljunqvist et Thomas J. Sargent. Théorie macroéconomique récursive, 3e édition. 2013.
TD Tallarini Jr. Cycles économiques réels sensibles aux risques. Journal of Monetary Economics. 2000.
LP Hansen et TJ Sargent. Contrôle gaussien quadratique exponentiel linéaire actualisé. Contrôle automatique IEEE Trans. 1995.

Commentaire supplémentaire: Les deux cas que vous présentez sont plus ou moins couverts par la supposition car cela se réduit aux journaux en tant que . Les suppositions sont certainement liées à la forme particulière de la fonction de retour car la fonction de valeur est liée à la fonction de retour (récompense) d'une période obtenue à plusieurs reprises tout au long d'une histoire infinie (si la consommation était constante, elle se réduirait à une somme géométrique). $V(k) = A + B \frac{k^{1-\sigma}}{1 - \sigma}$ $\sigma \rightarrow 1$

— cc7768
source

Bon point sur les préférences de journal comme cas spécial. C'est une excellente réponse, et je prévois de garder cela ouvert un peu plus longtemps pour voir si d'autres ont également d'autres formes canoniques.

— Pat W.