Partage parfait des risques dans Arrow-Debreu avec les mêmes croyances subjectives que les États

Je cherche donc une économie Arrow-Debreu à 2 agents avec un seul bien. La consommation et les dotations sont nulles dans t = 0, et deux états sont possibles dans t = 1, avec une dotation globale égale à 1 dans les deux états.

Nous supposons que l'utilité est strictement croissante et strictement quasi-concave. Ma question est la suivante:

Mon professeur dit par monotonie stricte

$\dfrac{v^{'}_{1}\left(x^1_1\right)}{v^{'}_{1}\left(x^2_1\right)} = \dfrac{v^{'}_{2}\left(1 - x^1_1\right)}{v^{'}_{2}\left(1 - x^2_1\right)} \Rightarrow x^1_1 = x^2_1$

Je peux voir que cela est évidemment vrai si est concave, mais nous n’avons qu’une stricte quasi-concavité. Par exemple, est strictement convexe mais strictement quasi-concave. Etant donné que l'agent 1 et l'agent 2 ne sont pas obligés d'avoir la même fonction d'utilitaire, il est possible que l'agent 1 ait un utilitaire convexe et que l'agent 2 ait un concave. En bref, nous ne pouvons pas dire que les dérivées secondes sont le même signe sans l'hypothèse de la concavité. $v(\cdot)$ $f(x) = x^2$

En outre, un exemple de compteur ne serait pas aif pour . Alors, impliquerait toujours que le ratio soit maintenu. S'agit-il alors d'une solution d'intérieur? $v_i(x) = x$ $i = 1,2$ $x_1^1 \neq x_1^2$

general-equilibrium risk

— hipHopMetropolisHastings
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En deux détails, vous semblez vous tromper:

Vous avez besoin d'une concavité stricte de , pas d'une concavité. $v(\cdot)$
Selon la définition de la quasi-concavité, la fonction n'est pas quasi-concave, elle est quasi-convexe. $x^2$

Votre point principal est correct. Si les deux fonctions sont linéaires, alors n'est plus nécessaire, car les produits et sont des substituts parfaits du consommateur . Par conséquent, toutes les décisions de consommation sont correctes tant que négocie à un ratio de prix de 1. Il s'agit bien du ratio de prix d'équilibre. La même chose peut être dite pour l'autre consommateur. $x_i^1 = x_i^2$ $x_i^1$ $x_i^2$ $i$ $i$

— Giskard
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"Selon la définition de la quasi-concavité, la fonction n'est pas quasi-concave, elle est quasi-convexe." N'est-ce pas aussi quasiconcave? Il me semble que cela répond à la définition de la quasi-concavité définie sur . Pour revenir à la question initiale, je pense que les exemples fournis par @ user176153 sont corrects et que la quasi-cavité stricte n’est pas suffisante (mais que la concavité stricte l’est).

x^{2}

$x^2$

R_{+}

$\mathbb{R}_+$

— Oliv

@Oliv Je suis également d'accord avec l'exemple de user176153. (Je l'ai dit dans la réponse.) n'est pas quonconcave. Exemple: Il n’existe pas de tel que

x^{2}

$x^2$

λ \in (0, 1)

$\lambda \in (0,1)$

(1 - λ)^{2} = (λ \cdot 0 + (1 - λ) \cdot 1)^{2} \geq min (0^{2}, 1^{2}) = 1.

$(1 - \lambda)^2 = (\lambda \cdot 0 + (1 - \lambda) \cdot 1)^2 \geq \min (0^2,1^2) = 1.$

— Giskard le

Oui, ma dernière phrase concernait la question initiale et non votre réponse. A propos de votre exemple, , pas et je maintiens que est quasiconcave sur . Plus généralement, toute fonction strictement croissante est à la fois quasiconcave et quasiconvexe.

min (0^{2}, 1^{2}) = 0

$\min(0^2,1^2)=0$

1

$1$

x \to x^{2}

$x \rightarrow x^2$

R_{+}

$\mathbb{R}_{+}$

— Oliv

Tu as raison, mon erreur. Dans la réponse, je voulais dire que n'est pas quasiconcave sur ce qui est vrai. (Vous avez raison de dire qu'il est quasiconcave sur .) Votre commentaire m'a fait comprendre que j'avais quelques faux concepts sur la quasi-cavité, merci pour cela!

x^{2}

$x^2$

R

$\mathbb{R}$

1 > (λ \cdot 1 + (1 - λ) \cdot 1)^{2} \geq min ((- 1)^{2}, 1^{2}) = 1.

$1 > (λ⋅1+(1−λ)⋅1)^2 \geq \min((-1)^2,1^2) = 1.$

R_{+}

$\mathbb{R}_+$

— Giskard