Optimisation dynamique: que se passe-t-il si la condition de second ordre ne tient pas?

Considérez le problème d'optimisation dynamique suivant

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{T} F (x, u) d t \\ s.t. & \dot{x} = f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^T_0{F(x,u)dt}\\ \text{s.t.}~& \dot{x} = f(x,u) \end{align}$

FOC

L'hamiltonien est donné par

\begin{aligned} H (x, u, λ) = F (x, u) + λ f (x, u) \end{aligned}

$\begin{align} H(x,u,\lambda) = F(x,u) + \lambda f(x,u) \end{align}$ Les conditions nécessaires à l'optimalité sont données par le maximum principe

\begin{aligned} \frac{\partial H}{\partial u} & = 0 \\ \frac{\partial H}{\partial x} & = - \dot{λ} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial u} &= 0\\[2mm] \frac{\partial H}{\partial x} &= -\dot{\lambda} \end{align}$

Supposons que $u^*=\arg\max_u H(x,u,\lambda)$ est un maximiseur, c'est-à-dire $H_{uu} < 0$ .

SOC

Le théorème de la flèche suffisante indique que les conditions nécessaires sont suffisantes si l'hamiltonien maximisé

\begin{aligned} H^{0} (x, λ) = max_{u} H (x, u, λ) \end{aligned}

$\begin{align} H^0(x,\lambda) = \max_u H(x,u,\lambda) \end{align}$ est concave dans

x

$x$ , c'est-à-dire si

H_{x x} < 0

$H_{xx} < 0$ .

Problème

Supposons que les FOC tiennent, mais que le SOC ne tienne pas.

Que dire de l'optimalité de la solution?

optimization

— Aucune idée
source

La convexité n'est pas l'absence de concavité.

— Michael Greinecker

J'ai retiré la mauvaise partie, j'espère que cela ne vous dérange pas. La réponse est: pas grand chose, essayez autre chose (par exemple une autre condition de suffisance ou, si vous pensez qu'elle est convexe, montrez qu'elle est convexe).

— The Almighty Bob

Il n'y a pas de réponse unique, cela dépendra des particularités de chaque problème. Regardons un exemple standard.

Considérons le problème d'optimisation intertemporelle de référence pour le modèle Ramsey

\begin{aligned} max_{u} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. \dot{k} = i - δ k \\ s.t. y = f (k) = c + i \end{aligned}

$\begin{align} &\max_u \int^{\infty}_0{e^{-\rho t}u(c)dt}\\ \\ & \text{s.t.}\;\; \dot{k} = i-\delta k\\ & \text{s.t.}\;\; y = f(k)=c+i \end{align}$

La valeur actuelle hamiltonienne est

\tilde{H} = u (c) + λ [f (k) - c - δ k]

$\tilde H = u(c) +\lambda [f(k)-c-\delta k]$

Maximiser sur seul nous avons $c$

\frac{\partial \tilde{H}}{\partial c} = u^{'} (c) - λ = 0 ⟹ u^{'} (c^{*}) = λ ⟹ c^{*} = (u^{'})^{- 1} (λ)

$\frac {\partial \tilde H}{\partial c} = u'(c) - \lambda =0 \implies u'(c^*) = \lambda \implies c^* = (u')^{-1}(\lambda)$

et la condition de second ordre se maintiendra si la fonction d'utilité est concave,

\frac{\partial^{2} H}{\partial c^{2}} = u^{″} (c^{*}) < 0

$\frac {\partial^2 H}{\partial c^2} = u''(c^*) < 0$

De plus, à partir de la condition de premier ordre par rapport à la consommation, si la non-satiété locale est vérifiée. Supposons que nous ayons de telles préférences "habituelles". $\lambda >0$

L'hamiltonien de sur-consommation maximisé est

{\tilde{H}}^{0} = u [(u^{'})^{- 1} (λ)] + λ [f (k) - (u^{'})^{- 1} (λ) - δ k]

$\tilde H^0 = u[(u')^{-1}(\lambda)]+\lambda [f(k)-(u')^{-1}(\lambda)-\delta k]$

Les dérivées partielles par rapport à la variable d'état, sont $k$

\frac{\partial {\tilde{H}}^{0}}{\partial k} = λ [f^{'} (k) - δ], \frac{\partial^{2} {\tilde{H}}^{0}}{\partial k^{2}} = λ f^{″} (k)

$\frac {\partial \tilde H^0}{\partial k} = \lambda[f'(k) - \delta], \;\;\;\; \frac {\partial^2 \tilde H^0}{\partial k^2} = \lambda f''(k)$

Donc, ici, la condition de suffisance d'Arrow-Kurz se résume à savoir si le produit marginal du capital est décroissant, constant ou croissant (qui dépendra du signe de la dérivée seconde de la fonction de production). Dans le cas standard et nous avons la condition suffisante. $f''(k) < 0$

Dans le cas d'écart le plus connu, le modèle de Romer à l' origine de la littérature sur la croissance endogène, , et le produit marginal du capital est une constante positive. $AK$ $f''(k) =0$

Alors, que pouvons-nous dire dans ce cas?

Ici, Seierstad, A. et Sydsaeter, K. (1977). Conditions suffisantes dans la théorie du contrôle optimal. Revue économique internationale, 367-391. fournir divers résultats qui peuvent nous aider.

En particulier, ils prouvent que si l'hamiltonien est concave conjointement en et , c'est une condition suffisante pour un maximum. La toile de jute de l'hamiltonien est $c$ $k$

(nous pouvons ignorer la durée de la remise)

{H e}_{H} = [\begin{matrix} u^{″} (c) & 0 \\ 0 & λ f^{″} (k) \end{matrix}]

${\rm He}_H = \left [ \begin{matrix} u''(c) & 0\\ 0 & \lambda f''(k)\\ \end{matrix} \right]$

Dans le cas standard avec c'est une matrice définie négative et donc le hamiltonien est conjointement strictement concave en et . $u''(c) <0, \; f''(k) <0$ $c$ $k$

Lorsque , il est simple de vérifier que la matrice est semi-définie négative en utilisant la définition. Considérons un vecteur et le produit $f''(k) =0$ $\mathbf z = (z_1, z_2)^T \in \mathbb R^2$

z^{T} {H e}_{H} z = z_{1}^{2} u^{″} (c) \leq 0

$\mathbf z^T{\rm He}_H\mathbf z = z_1^2u''(c) \leq 0$

cette faible inégalité tient , et donc la Hesse est concave conjointement en et . $\forall \mathbf z \in \mathbb R^2$ $c$ $k$

Ainsi, dans le modèle de croissance endogène, la solution est en effet un maximum (sous réserve des contraintes de paramètres nécessaires pour que le problème soit bien défini bien sûr). $AK$

— Alecos Papadopoulos
source

Merci. Cependant, je pense que je devrais clarifier mes motifs. Je sais que l'hamiltonien n'est ni concave strict en , ni concave en . Ici, la forme de l'hamiltonien puisque est borné. C'est une fonction convexe stricte pour les petits et tout et une fonction concave stricte pour les grands et tout . Je me demandais si nous pouvions faire une déclaration générale sur l'optimalité dans un tel cas.

x

$x$

(x, u)

$(x,u)$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

x

$x$

u

$u$

— désemparés

@clueless C'est une question différente (et intéressante), il serait donc préférable de la poser dans un article séparé.

— Alecos Papadopoulos