Biais OLS dans l'estimation de la demande: le biais sous-estime toujours l'élasticité de la demande?

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Certains articles soutiennent que l'OLS peut produire moins de biais que l'estimation IV en fonction de la qualité de vos instruments. Supposons que nous considérons une équation d'estimation de la demande.

Supposons que l'élasticité de la demande soit négative dans l'OLS. Par mon intuition, les instruments faibles devraient produire des estimations biaisées vers l'OLS, mais non moins négatives. Pouvez-vous produire un exemple? Je ne peux pas vraiment comprendre comment cela pourrait conduire à une estimation plus biaisée avec l'estimation IV.

econometrics

— John Doe
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IV est biaisé mais cohérent, donc j'imagine que votre affirmation est vraie. mais je suppose que tout dépend de vos objectifs. prédiction vs inférence.

— user157623

Quels sont «certains articles» (de préférence bien connus ou de type revue éclairée) auxquels vous faites référence dans votre première phrase? Je suis intéressé à les regarder. Merci.

— Kim Jong Un

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Habituellement, . Le dénominateur ira à zéro. $\hat{\beta_1^{IV}} = \beta_1 + \frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}$

Cela est vrai à moins qu'il n'y ait une certaine corrélation entre l'instrument et le terme d'erreur, et le nominateur est la force de la relation entre l'instrument et la variable endogène. Plus le dénominateur est petit, plus le biais est important . $\left[\frac{cov(z,u)}{cov(z,x)}\right]$

De plus, un instrument faible n'aura aucune précision, de sorte que la variance aura un grand biais à la hausse.

\begin{array}{rcl} v une r (\hat{β_{1}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2}}{n σ_{X}^{2}} \\ \hat{β_{1}^{je V}} & = & \frac{\sum (z_{je} - \bar{z}) y_{je}}{\sum (z_{je} - \bar{z}) X_{je}} = β_{1} + \frac{\sum (z_{je} - \bar{z}) u_{je}}{\sum (z_{je} - \bar{z}) X_{je}} \\ v une r (\hat{β_{1}^{je V}} & = & v une r (\frac{\sum (z_{je} - \bar{z}) u_{je}}{\sum (z_{je} - \bar{z}) X_{je}}) \\ v une r (u | z) & = & σ^{2} \\ v une r (\hat{β_{1}^{je V}}) & = & \frac{σ^{2} \frac{1}{n} \sum (z_{je} - \bar{z})}{n [\frac{1}{n} \sum (z_{je} - \bar{z}) (X_{je} - \bar{X})]^{2}} \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1}) &\to_p& \frac{\sigma^2}{n \sigma^2_x} \nonumber \\ \hat{\beta_1^{IV}} &=& \frac{\sum (z_i - \bar{z})y_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} = \beta_1 + \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \nonumber \\ var(\hat{\beta_1^{IV}} &=& var \left( \frac{\sum (z_i - \bar{z})u_i}{\sum(z_i - \bar{z})x_i} \right) \nonumber\\ var(u | z) &=& \sigma^2 \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &=& \frac{\sigma^2 \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})}{n[ \frac{1}{n} \sum (z_i - \bar{z})(x_i - \bar{x})]^2} \nonumber \end{eqnarray}$

$n \to \inf$

\begin{array}{rcl} v une r (\hat{β_{1}^{je V}}) & \to_{p} & \frac{σ^{2} σ_{z}^{2}}{σ_{z X}^{2}} \\ v une r (\hat{β_{1}^{je V}}) & \to_{p} & σ^{2} \frac{1}{n σ_{X}^{2}} \frac{1}{ρ_{X z}^{2}} \\ ρ_{X z}^{2} & = & \frac{[σ_{X z}^{2}]^{2}}{σ_{X}^{2} σ_{z}^{2}} pour ρ \in [0, 1] \end{array}

$\begin{eqnarray} var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \frac{\sigma^2 \sigma_z^2 }{\sigma^2_{zx}} \nonumber\\ var(\hat{\beta_1^{IV}}) &\to_p& \sigma^2 \frac{1}{n \sigma^2_x} \frac{1}{\rho^2_{xz}}\nonumber \\ \rho^2_{xz} &=& \frac{[\sigma^2 _{xz}]^2}{\sigma_x^2 \sigma_z^2} \textit{for} \rho \in [0,1]\nonumber \end{eqnarray}$

C'est pourquoi, si votre instrument est faible, il vaut mieux exécuter une régression OLS.

— Nox
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Dans l'équation de la première variance de l'estimateur IV, je crois que la variance de la version bêta sans biais est manquante - n'est-ce pas? Vous affectez uniquement la variance à la partie liée au biais de l'estimateur IV. Si je me trompe, veuillez m'expliquer ce qui me manque.

— John Doe

La ligne qui suit " " n'est pas exactement la variance (le numérateur manque également la notation carrée, juste une faute de frappe). Le dénominateur est aléatoire (car sont endogènes) et la variance est beaucoup plus compliquée.

v a r (u | z) = σ^{2}

$var(u|z)=\sigma^2$

x_{i}

$x_i$

— chan1142

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Des instruments faibles combinés à une légère endogénéité instrumentale peuvent conduire à un biais plus important que l'OLS. Comme le montre la réponse de Nox, la limite de probabilité de l'estimateur IV est . Lorsque bien que petit, si est petit, le biais peut être grand. Voir la remarque de Bound, Jaeger et Baker (1995, JASA) suivant l'équation (7) à la page 444. $\beta_1 + cov(z,u)/cov(z,x)$ $cov(z,u) \ne 0$ $cov(z,x)$

http://www.djaeger.org/research/pubs/jasav90n430.pdf

"Il ressort clairement de l'équation (7) qu'une faible corrélation entre la variable potentiellement endogène, , et les instruments, , aggravera tout problème associé à la corrélation entre l'instrument et l'erreur, . Si la corrélation entre le et la variable explicative endogène est faible, alors même une petite corrélation entre l'instrument et l'erreur peut produire une plus grande incohérence dans l'estimation IV de que dans l'estimation OLS. " $x$ $z_1$ $\varepsilon$ $\beta$

Sans endogénéité instrumentale, je ne pense pas que le biais de l'estimateur IV (de la distribution limite, il peut n'y avoir aucune limite de probabilité) soit plus grand que l'incohérence de l'OLS.

Une autre chose à considérer est que la variance de l'estimateur IV utilisant des instruments très faibles peut être grande même avec un très grand , et donc vous pouvez avoir une estimation IV plus absurde que l'OLS pour un ensemble de données juste par hasard. $n$

— chan1142
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