Comment dérive-t-on l'élasticité de substitution?

Pour deux biens $x$ et , l'élasticité de substitution est définie comme$y$

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{\frac{d\left(\frac{y}{x}\right)}{\frac{y}{x}}}{ \frac{d\left(\frac{U_x}{U_y}\right)}{\frac{U_x}{U_y}}}$$

Je suis confus par deux choses:

1. Pourquoi écrivons-nous simplement ? Sur quoi faisons-nous la différence?$d\log\left(\frac{y}{x}\right)$
2. Comment est-ce que j'utilise cela pour montrer la relation ci-dessus?

Quelqu'un peut-il expliquer?

Comment dériver l'élasticité de substitution

La première étape consiste à rappeler la définition d'un différentiel. Si vous avez une fonction , disons, f ( x 1 , ⋯ , x n ) , alors: d f = ∂ $f: \Bbb R^n \to \Bbb R$$f(x_1,\cdots,x_n)$

$${\rm d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1}{\rm d}x_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial x_n}\,{\rm d}x_n.$$

Par exemple,

$$d\log v = \frac{1}{v}dv$$

Supposons maintenant , alors nous avonsdlog(y/x)=d(y/x$v = \tfrac{y}{x}$

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}$$

et pour $v = \tfrac{U_x}{U_y}$

$$d\log(U_x/U_y)=\frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)}$$

En d'autres termes, si vous réduisez le problème à (1) comprendre la définition d'un différentiel et (2) utiliser un simple changement de variable , le problème devient très simple.

Vous obtenez alors

$$\sigma \equiv \frac{d\log\left(\frac{y}{x}\right)}{ d\log\left(\frac{U_x}{U_y}\right) }= \frac{ \frac{d(y/x)}{(y/x)} }{ \frac{d(U_x/U_y)}{(U_x/U_y)} }$$

DE CÔTÉ:

$d(y/x)$

$$d(y/x)= \frac{xdy-ydx}{x^2}$$

Cela a du sens car

$$d\log(y/x) = d\log(y) - d\log(x) = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

Et si vous calculez

$$d\log(y/x)=\frac{d(y/x)}{(y/x)}=\frac{ \frac{xdy-ydx}{x^2}}{y/x} = \frac{xdy-ydx}{xy} = \frac{dy}{y}-\frac{dx}{x}$$

$d(U_x/U_y)$

$\sigma$

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Qu'est-ce que l'élasticité de substitution?

$MRS$