PBE à prendre ou à laisser

J'ai trouvé une question intéressante sur l'équilibre parfait bayésien. Je n'ai pas vu de question où les croyances ne sont pas discrètes.

Il y a un seul acheteur potentiel d'un objet qui n'a aucune valeur pour le vendeur. L'évaluation v de cet acheteur est uniformément répartie sur [0, 1] et est une information privée. Le vendeur nomme un prix $p_1$ que l'acheteur accepte ou rejette.

S'il accepte, l'objet est échangé au prix convenu et le paiement de l'acheteur est $v − p_1$ et le vendeur est $p_1$ .

S'il rejette, le vendeur fait une autre offre de prix, p2. Si l'acheteur l'accepte, son gain est de $\delta_(v − p_2)$ et le vendeur est $\delta p_2$ , où $\delta = 0.5$ .

S'il rejette, les deux joueurs obtiennent zéro (il n'y a plus d'offre).

Trouvez un équilibre bayésien parfait.

Mon approche habituelle est de fixer les croyances, mais je ne sais pas très bien comment le faire avec des croyances continues. Aucun conseil?

game-theory academic-graduate bayesian-game

— Brian
source

Désolé, je ne pouvais pas penser à un moyen facile de donner des conseils partiels. C'est un bel exercice. Cela vous dérangerait (ou le créateur) si je l'utilisais en classe?

— Giskard

Bien sûr, n'hésitez pas!

— Brian

Hier, après avoir publié une mauvaise solution, je pense que j'en ai trouvé une meilleure

La stratégie de l'acheteur comprend deux fonctions, $(f_1(v,p_1),f_2(v,p_1,p_2))$ où les deux fonctions correspondent à $\left\{A,R\right\}$ (où $A$ signifie Accepter, $R$ pour rejeter). La stratégie du vendeur est $(p_1,p_2(f_1(v,p_1)))$ . Vous obtenez la solution par induction vers l'arrière. Dans PBE $f_2(v,p_1,p_2)$ correspond à $A$ si et seulement si $v \geq p_2$ . (Il y a une marge de manœuvre sans conséquence en matière d'égalité.) Dans PBE, le vendeur estime qu'il existe un ensemble $H$ des types pour lesquels l'acheteur a refusé son offre $p_1$ . alors

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (F_{2} (v, p_{1}, p_{2}) = UNE | F_{1} (v, p_{1}) = R) .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(f_2(v,p_1,p_2) = A | f_1(v,p_1) = R).$ L'acheteur acceptera l'offre si et seulement si De là, vous obtenez Le côté gauche de cette équation augmente en , donc les types avec une évaluation élevée accepteront. Cela signifie que dans PBE, l'ensemble est tel que De là, nous obtenons le optimal donné : Dans PBE est une fonction de :

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ \cdot (v - p_{2}) .

$v - p_1 \geq \delta \cdot (v - p_2).$

v \cdot (1 - δ) \geq p_{1} - δ \cdot p_{2} .

$v \cdot (1 - \delta) \geq p_1 - \delta \cdot p_2.$

v

$v$

H

$H$

H = [0, \bar{v}) .

$H = [0, \bar{v}).$

p_{2}

$p_2$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{2}^{*} = \arg max_{p_{2}} p_{2} \cdot P r o b (v \geq p_{2} | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2} .

$p_2^* = \arg\max_{p_2} p_2 \cdot Prob(v \geq p_2 | v \in [0, \bar{v})) = \frac{\bar{v}}{2}.$

\bar{v}

$\bar{v}$

p_{1}

$p_1$

\bar{v} \cdot (1 - δ) = p_{1} - δ \cdot \frac{\bar{v}}{2},

$\bar{v} \cdot (1 - \delta) = p_1 - \delta \cdot \frac{\bar{v}}{2},$ donc Nous avons déterminé toutes les stratégies PBE sauf . Le gain attendu du vendeur est où En substituant cela, nous obtenons

\bar{v} = \frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}} .

$\bar{v} = \frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}.$

p_{1}

$p_1$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1})) \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot p_{2} (\bar{v} (p_{1}))}{1 - δ} - p_{2} (\bar{v} (p_{1}))),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot p_2(\bar{v}(p_1)) \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot p_2(\bar{v}(p_1))}{1 - \delta} - p_2(\bar{v}(p_1)) \right),$

p_{2} (\bar{v} (p_{1})) = \frac{\bar{v} (p_{1})}{2} = \frac{\frac{p_{1}}{1 - \frac{δ}{2}}}{2} = \frac{p_{1}}{2 - δ} .

$p_2(\bar{v}(p_1)) = \frac{\bar{v}(p_1)}{2} = \frac{\frac{p_1}{1 - \frac{\delta}{2}}}{2} = \frac{p_1}{2 - \delta}.$

p_{1} \cdot (1 - \frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ} \cdot (\frac{p_{1} - δ \cdot \frac{p_{1}}{2 - δ}}{1 - δ} - \frac{p_{1}}{2 - δ}),

$p_1 \cdot \left( 1 - \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} \right) + \frac{1}{2} \cdot \frac{p_1}{2 - \delta} \cdot \left( \frac{p_1 - \delta \cdot \frac{p_1}{2 - \delta}}{1 - \delta} - \frac{p_1}{2 - \delta} \right),$

Vous devez maximiser ce wrt . Avec j'ai eu $p_1$ $\delta = 0.5$

p_{1}^{*} = \frac{9}{20}, \bar{v} = \frac{3}{5}, p_{2}^{*} = \frac{3}{dix} .

$p_1^* = \frac{9}{20}, \hskip 20pt \bar{v} = \frac{3}{5}, \hskip 20pt p_2^* = \frac{3}{10}.$

— Giskard
source

J'ai l'impression que cette question peut également être interprétée comme une entreprise essayant de filtrer les consommateurs de différentes évaluations représentées comme l'intervalle unitaire fermé. Le système de tarification optimal consiste à fixer deux prix de manière à ce que les clients dont les évaluations sont élevées paieront à un prix plus élevé au premier stade, et certains de ceux à faibles évaluations paieront à un prix inférieur au deuxième stade.

— Metta World Peace

Vous devez expliquer pourquoi les services publics sont différents au deuxième tour. Pour le vendeur, cela pourrait être une simple remise, mais pour l'acheteur? Si le bien était durable, les types qui achètent le bien bénéficieraient de certains avantages lors des deux tours.

— Giskard

Je ne suis pas tout à fait. Pourquoi les acheteurs ne peuvent pas escompter l'utilité dérivée au deuxième tour? Cela peut être interprété comme un écrémage des prix sur deux périodes, non?

— Metta World Peace

Gênant mais je n'ai jamais entendu parler de ce modèle jusqu'à présent. Vous avez raison, cela décrit bien le jeu ci-dessus.

— Giskard

Vous avez dit que l'acheteur acceptera si et seulement si mais l'acheteur ne rejettera-t-il pas si et sont supérieurs à , que l'inégalité ci-dessus soit satisfaite ou non?

p_{1}

$p_1$

v - p_{1} \geq δ (v - p_{2})

$v-p_1\ge \delta(v-p_2)$

p_{1}

$p_1$

p_{2}

$p_2$

v

$v$

— Franklin Pezzuti Dyer