Qu'est-ce qu'un substitut / complément en termes de dérivés partiels mixtes?

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J'essaie de comprendre comment la substituabilité est liée aux dérivés partiels mixtes. Je pensais que le changement de l'utilité marginale par rapport à un changement de la quantité de correspondrait à donc je suis devenu confus quand je prends le partiel de cela par rapport à . Est-ce que cela mesure le taux MU change par rapport à lorsque nous changeons ? Quel est le lien avec le fait d'être un remplaçant? $x$

\frac{\partial U}{\partial x}

$\frac{\partial U}{\partial x}$

y

$y$

x

$x$

y

$y$

microeconomics

— Stan Shunpike
source

Si nous commençons par les bases: Si est complémentaire de alors . Droite?

y

$y$

x

$x$

\frac{d y_{d}}{d p_{x}} < 0

$\frac{dy_d}{dp_x} < 0$

— snoram

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Il est très important ici de noter qu'il existe de multiples possibilités, mutuellement incohérentes, de définir un substitut / complément.

Une façon consiste à dire que et sont complémentaires si une augmentation de augmente l'utilité marginale de (ou, étant donné la symétrie des partiels mixtes, vice versa): C'est la suggestion dans la réponse de foobar. $x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial^{2} U}{\partial x \partial y} > 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 U}{\partial x\partial y}>0\tag{1}$

Une autre façon est de dire que et sont complémentaires si une baisse du prix de augmente la demande hicksienne (aka compensée) de . Puisque la demande hicksienne est la dérivée de la fonction de coût (aka dépenses) par le lemme de Shephard , cela peut aussi être exprimé comme une condition sur les partiels mixtes: C'est la suggestion dans le commentaire de snoram, et c'est la notion plus communément enseignée dans les micro classes. $x$ $y$ $y$ $x$

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} < 0 \end{matrix}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x\partial p_y}<0\tag{2}$

Ces définitions ne sont pas équivalentes! En effet, dans tous les cas avec seulement deux produits, ces deux produits doivent être des substituts selon (2), que la croix-partielle de dans (1) soit positive ou non. $U$

On peut donner des étiquettes fructueuses à ces concepts (bien que ces étiquettes soient plus courantes dans le cas de la production plutôt que des fonctions d'utilité). Après Hicks, nous pouvons appeler des compléments par définition (1) q-compléments : si et sont q-compléments, une augmentation de la quantité de conduit à une augmentation de la valeur marginale de . En attendant, on peut appeler des compléments par définition (2) p-compléments : si et sont des p-compléments, une baisse du prix de entraîne une augmentation de la demande de . Voir, par exemple, $x$ $y$ $y$ $x$ $x$ $y$ $y$ $x$ Seidman (1989) pour un bref aperçu.

Les deux concepts sont utiles dans différentes situations - cela dépend de ce qui vous intéresse!

Note plus technique: vous remarquerez peut-être que (1) et (2) ne semblent pas très similaires: (2) est un concept compensé , nous gardant sur la même courbe d'indifférence, tandis que (1) ne l'est pas. Il s'agit d'une critique valable, et il existe en effet une notion alternative de "q-compléments" qui est compensée, et une notion de "p-compléments" qui ne l'est pas.

La notion compensée de q-compléments, qui est probablement plus pertinente pour la plupart des applications de la théorie de la consommation que (1), demande si le retour marginal à augmente lorsque nous augmentons , tout en restant sur la même courbe d'indifférence. (Il est plus pertinent pour la théorie des consommateurs , car elle ne dépend pas de la nature ambiguë de cardinalité . En effet, apparemment Hicks a présenté ce que la définition théorie des consommateurs de « q-compléments » dans son 1956 Révision de la théorie de la demande $x$ $y$ $U$ , bien que je n'en ai pas de copie moi-même.) Cette notion a également une caractérisation partielle mixte, en termes de quelque chose appelé la fonction de distance, qui est un outil de micro-théorie cool que personne n'apprend plus; la matrice des partiels mixtes de la fonction de distance est appelée matrice Antonelli, et c'est un inverse généralisé de la matrice Slutsky bien-aimée.

Si nous voulions penser à d'autres versions des compléments p, il y a plusieurs options. Une façon consiste à maintenir le revenu constant et à dire que et sont complémentaires si une baisse du prix de augmente la demande marshallienne de . C'est une notion valide (appelée complémentarité "brute" plutôt que "nette"), mais elle n'est pas très agréable car elle n'est pas symétrique (en raison des effets de revenu) et n'a donc pas une caractérisation partielle mixte. $x$ $y$ $y$ $x$

Une autre façon plus agréable consiste à maintenir l'utilité marginale de la richesse constante (c'est ce qu'on appelle la demande "Frisch", et c'est l'analogue de la théorie du consommateur de la maximisation du profit, qui maintient le prix de la production constant), puis à se demander si une diminution du prix de conduit à une augmentation de la demande de . Cela dépend des entrées dans l' inverse de la matrice hessienne des partiels mixtes de , révélant une relation inverse avec (1) (qui dépend de la matrice hessienne elle-même) qui est parallèle à la relation inverse notée ci-dessus entre les matrices Antonelli et Slutsky. $y$ $x$ $U$

— nominalement rigide
source

Pouvez-vous expliquer pourquoi l'équation 2 implique qu'ils doivent être des substituts?

— Stan Shunpike

l'inégalité (2) implique qu'ils sont des compléments au sens de "p-compléments" car nous pouvons écrire , où est la demande hicksienne de (et la troisième égalité découle du lemme de Shepard). Est-ce la partie qui était ambiguë?

\frac{\partial^{2} C}{\partial p_{x} \partial p_{y}} = \frac{\partial (\partial C / \partial p_{x})}{\partial p_{y}} = \frac{\partial h_{x}}{\partial p_{y}}

$\frac{\partial^2 C}{\partial p_x \partial p_y} = \frac{\partial(\partial C / \partial p_x)}{\partial p_y} = \frac{\partial h_x}{\partial p_y}$

h_{x}

$h_x$

x

$x$

— nominalement rigide

Oui, mais cela est clair. Merci encore pour une autre réponse géniale.

— Stan Shunpike

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Pensez à deux biens qui devraient être indépendants. Disons, chaussures et jeux informatiques. $x =$ $y =$

Les compléments impliquent la complémentarité: vous pouvez profiter de plus lorsque vous avez plus de . D'où un dérivé croisé positif. $y$ $x$

Une façon d'exprimer cela avec un utilitaire non séparable: . Une alternative est ce que vous avez spécifié: A la marge , avoir vous permet de profiter de plus. $U(x, 0) + U(0, y) < U(x,y)$ $x$ $y$

Avec nos chaussures et nos jeux informatiques, le dérivé croisé est certainement 0. Avec la crème glacée et les cuillères, c'est très probablement positif: avoir une cuillère augmente l'avantage marginal que vous obtenez de la crème glacée, d'où une corrélation croisée positive.

Enfin, pensez au chocolat et aux glaces. On pourrait soutenir qu'ils fonctionnent comme des substituts (pensez au désert, par exemple): vous voulez soit l'un, soit l'autre. Si vous les obtenez gratuitement , bien sûr, cela ne fait pas de mal d'avoir les deux. Mais si vous devez payer des prix équitables, vous préférez payer le prix de l'un des choix et vous y tenir.

— FooBar
source

Qu'en est-il de la question de la "symétrie" des partiels mixtes? Cela vaut-il pour les exemples que vous avez donnés? Est-ce important? Par symétrie, je veux dire .

U_{x y} = U_{y x}

$U_{xy} = U_{yx}$

— Stan Shunpike