Quelles sont les préférences de translog? L' article de wikipedia précise seulement qu'il représente les préférences logarithmiques transcendantales et qu'il s'agit d'une généralisation des préférences de Cobb-Douglas.
Ont-ils des caractéristiques spéciales qui le rendent plus attrayant? Je n'ai jamais vu ceux-ci être utilisés en macroéconomie.
Réponses:
La fonction translog peut être utilisée non seulement dans les préférences mais aussi dans les fonctions de production et de coût. Je ne connais pas très bien ses implications dans la théorie du consommateur, mais du point de vue de la production, je l'ai vu largement utilisé.
La fonction Translog n'impose pas d'additivité et d'homogénéité, et donc d'élasticité de substitution constante. Ceci est intéressant car il ne nécessite pas de substitution "en douceur" entre les intrants (dans l'analyse de la production). Je suppose que dans la théorie du consommateur, l'interprétation serait similaire.
Donc, fondamentalement, la fonction translog est moins restrictive qu'un cobb-douglas. Si vous imposez des restrictions lors du calcul des paramètres de la fonction translog, vous obtenez une fonction cobb-douglas. C'est pourquoi c'est une "généralisation". En d'autres termes, le cobb-douglas est un cas spécifique de la fonction Translog imposant additivité et homogénéité (ie imposant une élasticité de substitution constante).
Je pense que l'autre réponse est plus complète que la mienne. Mais je vais juste ajouter quelque chose que je considère utile pour que vous ayez une compréhension plus large. Je suppose que vous connaissez les courbes d'indifférence. Je vous renvoie à ce site (d'où j'ai pris les graphiques), au cas où vous ne seriez pas.
Une courbe d'indifférence n'est qu'une cartographie de toutes les combinaisons de deux (ou plus) biens qui vous donnent la même utilité, ou «vous rendent heureux au même niveau».
Tout d'abord, voyez cette courbe d'indifférence:
Fig 1: source
Ce paramètre est appelé «compléments». Parce que comme vous pouvez le voir, ajouter mille unités de bon x (qui se déplace vers la droite), sans ajouter le bon y (qui ne se déplace pas vers le haut) ne vous rend pas plus heureux: vous vous déplacez le long de la courbe d'indifférence. Considérez cela comme la chaussure gauche et la chaussure droite. Il est inutile d'avoir mille chaussures gauches supplémentaires sans ajouter une chaussure droite car ce sont de parfaits compléments .
Maintenant, regardez celui-ci:
Fig 2: source
Celui-ci est appelé "substituts". C'est le cas contraire aux compléments. Vous pouvez penser à cela comme du bœuf et du poulet. Vous pouvez cuisiner en utilisant uniquement du bœuf, ou vous pouvez remplacer et cuire en utilisant uniquement du poulet. Mais vous pouvez aussi cuisiner avec une certaine combinaison, disons 150 grammes de boeuf et 100 grammes de poulet car ce sont des substituts parfaits (Désolé, je n'ai pas pu trouver un meilleur exemple mais celui-ci fait le point).
Maintenant, ces cas extrêmes permettent d'imaginer plus facilement tous les paramètres qui sont "au milieu". Autrement dit, deux types de biens qui ne sont pas des compléments parfaits ni des substituts parfaits. Pensez à la nourriture et aux boissons. Ils ne peuvent pas être de parfaits substituts car vous ne pouvez pas manger beaucoup sans boissons. Ce ne sont pas non plus des compléments parfaits car le mélange de nourriture et de boissons n'est pas fixe. Pour ce réglage, le cobb-douglas pourrait être une belle approximation comme on peut le voir sur la figure suivante:
Fig 3: source
Maintenant, la fonction utilitaire Cobb-Douglas ne résout pas tout, car elle impose certaines contraintes par construction. Par exemple, la ligne qui va de l'origine à toutes les courbes (le chemin d'expansion) est à 45 ° et droite par construction : elle ne peut pas être modifiée. Cela signifie que lorsque vous devenez plus riche (même infiniment riche), vos préférences par rapport à ces produits restent constantes. Le nom formel est homothéticité ou préférences homothétiques . Ceci est empiriquement faux, car il a été démontré que plus vous êtes riche, vous utilisez une part plus faible de votre revenu pour la nourriture. Avec les préférences de Cobb-Douglas, cela ne peut pas se produire. Les préférences de Translog assouplissent cette hypothèse.
Dans la figure suivante, vous avez une carte d'utilité relâchant l'hypothèse d'homothéticité:
Fig 4: source
Pensez à ce graphique aussi bien y être nourriture et bon x étant le divertissement. Au fur et à mesure que vous vous enrichissez (ou plus loin de l'origine), vous consacrerez plus de vos revenus au divertissement.
Enfin, je parlerai de l'élasticité de substitution connue sous le nom de (sigma) qui peut être imaginée comme étant la courbure de la courbe d'indifférence. Dans la figure 1, le complément parfait : pas de courbure. Dans les substituts parfaits, : straigt line. Dans Cobb-Douglas, : une légère courbure. Néanmoins, à mesure que vous vous enrichissez (éloigné de l'origine), cette élasticité de substitution reste constante dans les trois paramètres. Même dans les préférences non homothétiques de la figure 4, l'élasticité de substitution reste constante. Ce sont les préférences ** à élasticité constante de substitution (CES) **. Mais que se passe-t-il si vous autorisez la courbe à avoir différentes formes à mesure que vous vous enrichissez? Regardez la figure 5:
Dans cet exemple, les courbes d'indifférence deviennent chaque fois moins élastiques. Par conséquent, ce ne sont pas des préférences CES. L'avantage des préférences Translog est que, puisque vous n'imposez ni CES ni homothéticité, vous pouvez tester cette hypothèse avec les données observées. Vous pouvez voir que la fonction utilitaire Translog est beaucoup moins restrictive que les préférences Cobb-Douglas.
Enfin, je dirai qu'il peut arriver que vous ne rejetiez pas l'hypothèse d'homothéticité, CES et dans un ensemble de données de comportement observé. Cela vous laisserait dans un paramètre de préférences Cobb-Douglas. Donc, en utilisant Translog, vous n'excluez pas nécessairement Cobb-Douglas.
les auteurs ont introduit la fonction CES pour généraliser la fonction de production Cobb-Douglas en ce qui concerne le paramètre d'élasticité de substitution, qui dans le cas CES n'est pas contraint d'être égal à l'unité comme c'est le cas dans le cas CD. Mais il est constant dans tout l'espace d'entrée.
12 ans plus tard, Christensen, LR, Jorgenson, DW et Lau, LJ (1973). Frontières transcendantales de production logarithmique. The review of economics and statistics, 28-45.
introduit la spécification " translog " en écrivant dans l'introduction, (gras je souligne),
"... la classe des frontières de possibilités de production qui sont homogènes et additives ... coïncident avec la classe des frontières à élasticités de substitution constantes ... Pour plus d'un produit ou plus de deux facteurs de production , constance des élasticités de la substitution et la transformation sont très restrictives ... Notre approche consiste à représenter la frontière de production par des fonctions quadratiques dans les logarithmes des quantités d'entrées et de sorties. Ces fonctions fournissent une approximation locale de second ordre de toute frontière de production ... "
et ensuite
"Notre objectif est de développer des tests de la théorie de la production qui n'utilisent pas l'additivité et l'homogénéité dans le cadre de l'hypothèse maintenue ."
Il est à noter que par «homogénéité», les auteurs précisent qu'ils signifient homogénéité de degré un (c'est-à-dire «rendements d'échelle constants»), alors que proprement et mathématiquement parlant, une fonction homogène peut avoir n'importe quel degré d'homogénéité.
De plus, Christensen et al. notons que "l'additivité" dans leur approche équivaut au concept de "forte séparabilité" dans le contexte de l'utilité.
Dans un contexte d'utilité, la "sortie" est une -utilité-, et en macroéconomie, l'approche prédominante n'a qu'une seule entrée (consommation). Dans un tel cadre, il est inutile d'utiliser le translog.
Dans le cas où nous voulons modéliser également le choix du travail de loisir, et nous faisons la fonction d'utilité, bivariée, alors dans la spécification théorique, nous utilisons principalement des préférences séparables .
La spécification translog a davantage un objectif empirique. En estimant une spécification translog, on obtient des estimations de coefficients qui peuvent être utilisées pour tester si l'additivité et l'homogénéité tiennent dans les données, tandis que dans les fonctions CD et CES, ces propriétés ne sont pas testables. Un autre avantage est que la spécification translog convient à une situation plusieurs entrées / plusieurs sorties.
Jorgenson et Lau ont proposé d'appliquer la fonction translog à un contexte d'utilité dans Jorgenson, Dale W. et Lawrence J. Lau. (1975), «La structure des préférences des consommateurs». Annals of Economic and Social Measurement, Volume 4, numéro 1. NBER, 1975. 49-101.
Ils écrivent
"En utilisant des fonctions d'utilité translog directes et indirectes avec des préférences variant dans le temps, nous pouvons tester les restrictions d'additivité, d'homothéticité et de stationnarité plutôt que de maintenir ces restrictions sur les préférences dans le cadre de notre modèle économétrique."