L'aversion au risque entraîne-t-elle une diminution de l'utilité marginale, ou vice versa?

Soit $A$ l'ensemble des états possibles du monde, ou les préférences possibles qu'une personne pourrait avoir. Soit $G(A)$ l'ensemble des « paris » ou « loteries », à savoir l'ensemble des distributions de probabilité sur $A$ . Ensuite, chaque personne aurait un ordre préféré des états en $A$ , ainsi qu'un ordre préféré des loteries en $G(A)$ . Le théorème de von Neumann-Morgenstern déclare que, en supposant que votre ordre de préférence sur $G(A)$ obéit à certains axiomes de rationalité, vos préférences peuvent être représentées par une fonction d'utilité $u: A → ℝ$ . (Cette fonction est unique jusqu'à la multiplication de scalaires et l'ajout de constantes.) Cela signifie que pour deux loteries et dans , vous préférez à si et seulement si la valeur attendue de sous est supérieure que la valeur attendue de sous . En d'autres termes, vous maximisez la valeur attendue de la fonction d'utilité. $L_1$ $L_2$ $G(A)$ $L_1$ $L_2$ $u$ $L_1$ $u$ $L_2$

Maintenant, ce n'est pas parce que vous maximisez la valeur attendue de votre fonction d'utilité que vous maximisez la valeur attendue de choses réelles comme l'argent. Après tout, les gens ont souvent une aversion au risque; ils disent "un oiseau dans la main en vaut deux dans la brousse". L'aversion au risque signifie que vous appréciez un pari inférieur à la valeur attendue de l'argent que vous gagnerez. Si nous exprimons cette notion en termes de fonction d'utilité von Neumann-Morgenstern, nous obtenons le résultat suivant à travers l'inégalité de Jensen: une personne est opposée au risque si et seulement si sa fonction d'utilité est une fonction concave de votre argent, c'est-à-dire dans quelle mesure votre aversion au risque est la même que la mesure dans laquelle vous avez une utilité marginale décroissante de l'argent. (Voir page 13 de ce PDF .)

Ma question est, dans quelle direction la causalité va-t-elle? Les valeurs de la fonction d'utilité von Neumann-Morgenstern reflètent-elles l'intensité de vos préférences et constituent une aversion au risque en raison de la réduction des préférences des futurs moi-même aisés par rapport aux préférences des futures versions de vous-même qui sont plus pauvres et donc valorisées plus d'argent (comme le suggère Brad Delong ici )? Ou la causalité va-t-elle dans l'autre sens: votre tolérance au risque détermine-t-elle la forme de votre fonction d'utilité, de sorte que la fonction d'utilité de von Neumann-Morgenstern ne vous dit rien sur l'intensité relative de vos préférences?

— Keshav Srinivasan
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Réponses:

Je pense avoir trouvé une réponse à ma question, dans cet extrait du document de 1994 du lauréat du prix Nobel John C. Harsanyi "Validité normative et signification des utilitaires von neumann-morgenstern", présenté au neuvième congrès international de logique, méthodologie et philosophie de Science. Harsanyi commence par prouver le même lemme qu'Alecos a prouvé dans sa réponse, à savoir que si est une fonction d'utilité vNM d'un individu, alors $u$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ si et seulement s'ils préféraient une garantie de 5 dollars contre 50% de 10 dollars et une chance de 50% de 0 dollars. Dans la section des commentaires, j'ai dit que cela n'était pas suffisant pour démontrer que la fonction d'utilité vNM représentait l'intensité des préférences, car que se passerait-il si le plaisir et la douleur réels de l'individu étaient décrits avec précision par une autre fonction d'utilité , qui est une transformation monotone mais pas une transformation affine de ? Dans ce cas, ne pouvait-il pas échouer à satisfaire la propriété de valeur attendue et ne pouvait-il pas ? $v$ $u$ $v$ $v(10) - v(5) = v(5) - v(0)$

Harsanyi a un argument intelligent concernant cette question. Soit la loterie où vous obtenez 5 dollars garantis, soit la loterie où vous avez 50% de chances sur 10 dollars et 50% de 0 $, et que soit la loterie sur laquelle vous avez 50% de chances de 10 dollars et 50% de chances de 5 dollars. Alors évidemment, la personne préfère à et . Et Harsanyi soutient que est préféré à moins fortement que est préféré à si et seulement si . C'est parce que dans le choix entre, $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_3$ $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $v(10) - v(5) < v(5) - v(0)$ $L_3$ vs , 50% du temps ils obtiennent 5 dollars, et 50% du temps ils doivent faire un choix entre 10 et 5. De même dans le choix entre et , 50% du temps ils obtiennent 10 dollars, et 50% du temps ils doivent faire un choix entre 5 et 0. $L_1$ $L_3$ $L_2$

Voici maintenant le coup de maître: est préféré à si et seulement si est préféré à moins fortement que est préféré à . Par conséquent, est préféré à si et seulement si . Et ainsi nous arrivons à la grande conclusion que si et seulement si . $L_1$ $L_2$ $L_3$ $L_1$ $L_3$ $L_2$ $L_1$ $L_2$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$ $u(10) - u(5) < u(5) - u(0)$ $v(10)-v(5) < v(5) -v(0)$

Ainsi, Harasanyi arrive à la conclusion que la fonction d'utilité vNM représente les intensités des préférences. Donc, la réponse à ma question semble être que l'utilité marginale décroissante dans la fonction d'utilité vNM reflète une véritable utilité marginale décroissante en ce qui concerne l'intensité des préférences, et donc (en supposant que les axiomes vNM sont vrais) la diminution de l'utilité marginale est vraiment la cause du risque aversion.

Soit dit en passant, je me demande si nous pourrions identifier l'ensemble de toutes les fonctions qui satisfont la contrainte que si et seulement si (et de même pour supérieur et égal à). (EDIT: J'ai posé des questions à ce sujet sur Mathematics.SE ici .) $v$ $u(x) - u(y) < u(z) - u(w)$ $v(x)-v(y) < v(z) -v(w)$

— Keshav Srinivasan
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@AlecosPapadopoulos Merci! Mais cette preuve n'est pas vraiment un cas de "travail des axiomes"; la fonction n'a pas du tout à satisfaire la propriété value attendue.

v

$v$

— Keshav Srinivasan

@AlecosPapadopoulos Au fait, je viens de poster une autre question concernant la théorie de l'utilité attendue qui pourrait vous intéresser: economics.stackexchange.com/q/5304/4447

— Keshav Srinivasan

La fonction d'utilité est une représentation des préférences, qui sont traditionnellement déduites des choix. Les préférences passent avant l'utilité. Je n'appellerais pas le lien entre l'utilité et la causalité des préférences, juste une relation mathématique.

L'aversion au risque (préférence pour le risque) n'est pas liée à l'actualisation, qui mesure la préférence temporelle. Il n'est pas logique de dire que l'aversion au risque est due à l'actualisation des préférences de soi-même futur.

— Sander Heinsalu
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"Je n'appellerais pas le lien entre l'utilité et la causalité des préférences, juste une relation mathématique." Eh bien, le cœur de ma question n'est pas de savoir si les préférences mènent à des fonctions utilitaires. Voici ce que je demande fondamentalement: les valeurs de la fonction d'utilité de von Neumann-Morgenstern reflètent-elles l'intensité des préférences, ou reflètent-elles simplement des attitudes à l'égard du risque qui n'ont rien à voir avec l'intensité des préférences? Et en passant, en escomptant je ne veux pas dire l'escompte de temps. Je veux dire valoriser les versions de vous-même dans certains futurs possibles plus que les versions d'autres futurs.

— Keshav Srinivasan

La représentation d'utilité attendue des préférences est unique jusqu'à des transformations affines strictement croissantes. Les valeurs d'utilité n'ont aucune signification, seul leur classement a une signification. Vous pouvez multiplier la fonction d'utilité par 2 par exemple avec des préférences inchangées.

— Sander Heinsalu

@KeshavSrinivasan Peut-être que les deux souhaitent mettre à jour la question / réponse avec les informations supplémentaires que vous avez insérées dans les commentaires ici. Peut-être que la question est également posée de manière trop formelle (et que, trop longue). Je sens que j'ai appris quelque chose en lisant ces commentaires ici.

— FooBar

@SanderHeinsalu Distinguons deux choses. Il y a les informations supplémentaires véhiculées par l' existence d'une fonction d'utilité vNM, à savoir l'information que la personne satisfait aux axiomes vNM. Mais je parle des informations véhiculées par la fonction vNM elle-même. Autrement dit, si x, y et z sont trois éléments fixes de A, alors la quantité (u (x) - u (y)) / (u (y) - u (z)) varie d'une personne à l'autre (parmi les personnes qui satisfont aux axiomes vNM), mais il ne varie pas entre les différentes fonctions d'utilité vNM pour la même personne. Cette quantité transmet donc quelque chose de spécifique à une personne.

— Keshav Srinivasan

L'attitude face au risque fait partie des préférences. Il exprime donc à la fois l'attitude face au risque et l'intensité des préférences dans un certain sens. Mais il existe également l'utilité indépendante de l'État dans vNM, qui est assouplie dans une théorie de décision ultérieure. Cela peut être interprété comme la même intensité de préférence pour la consommation dans différents États, toute la différence d'utilité par rapport à la consommation dans différents États étant attribuée aux probabilités des États.

— Sander Heinsalu

La propriété utilitaire attendu n'est pas une propriété qui dépend de la forme fonctionnelle de la fonction utilitaire. Son existence dépend de la satisfaction de certains "axiomes" (qui seraient plus précisément décrits comme des "conditions"), qui ont à voir avec les préférences / comportements des êtres humains. On peut leur donner une expression mathématique stricte (ce qui est bien), mais elles ont à voir avec les préférences, c'est-à-dire avant que toute forme fonctionnelle de la fonction d'utilité ne soit spécifiée. Voyons ce que cela signifie. Dans un commentaire, le PO a écrit

"... si x, y et z sont trois éléments fixes de A, alors la quantité varie d'une personne à l'autre ( parmi les personnes qui satisfont aux axiomes vNM), mais il ne varie pas entre les différentes fonctions d'utilité vNM pour la même personne. Cette quantité transmet donc quelque chose de spécifique à une personne. " $[u(x) - u(y)]/[u(y) - u(z)]$

Cela fait.

Citation de Jehle & Renyi (2011) "Advanced Microeconomic Theory" (3d ed) , ch. 2 p. 108

"Nous concluons que le rapport des différences d'utilité a une signification inhérente concernant les préférences de l'individu et qu'elles doivent prendre la même valeur pour chaque représentation d'utilité VNM de (la relation de préférence faible). Par conséquent, les représentations d'utilité VNM fournissent nettement plus que des informations ordinales sur la les préférences du décideur, car autrement, grâce à des transformations monotones appropriées, ces ratios pourraient prendre de nombreuses valeurs différentes. "

Dans leur exemple juste avant la citation, ils montrent que

\frac{[u (x) - u (y)]}{[u (y) - u (z)]} = \frac{1 - α}{α}

$\frac {[u(x) - u(y)]}{[u(y) - u(z)]} = \frac {1-\alpha}{\alpha}$

où est une probabilité qui reflète les préférences que nous modélisons. Citer encore (p. 107) $\alpha$

"Notez bien que le nombre de probabilité est déterminé par, et est le reflet des préférences du décideur. C'est un nombre significatif. On ne peut pas le doubler, y ajouter une constante ou le transformer de quelque manière que ce soit sans changer également les préférences auxquelles il est associé. " $\alpha$

Et est une cote (pas un "rapport de cotes"). $(1-\alpha)/\alpha$

Vous voici donc: une fonction utilitaire vNM est associée aux cotes qui peuvent caractériser les préférences d'une personne.

ADDENDUM
Après un échange d'opinions et de réflexions intéressant mais trop long dans les commentaires avec le PO, j'ai décidé d'enrichir cette réponse avec un exemple, afin de montrer que dans le contexte de la théorie spécifique des préférences dont nous discutons, "l'intensité des préférences "(comme cela est discuté de manière informelle ici) ne peut être dissocié de" l'attitude envers le risque "- ils sont inextricablement liés.

Supposons qu'un individu déclare (comme il en a le droit): "Mes préférences sont monotones et je préfère plus à moins. De plus, les cinq prochains euros me donneront exactement la même utilité que les cinq suivants". Notez que c'est l'individu qui parle - nous ne pouvons pas lui demander si l'utilité peut être cardinale ou non etc. Partant de zéro pour plus de commodité, nous symbolisons sa déclaration comme

\begin{matrix} (1) & u (10) - u (5) = u (5) - u (0) ⟹ u (5) = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u(10) - u(5) = u(5) - u(0) \implies u(5) = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag {1}$

Dans le cadre de la discussion avec le PO, il s'agit d'une déclaration sur "l'intensité des préférences".

Ensuite, nous présentons à cet individu le choix suivant: il peut soit obtenir euros, soit participer à un pari où il recevra euros avec probabilité ou euros avec probabilité . L'individu déclare alors qu'il préfère strictement obtenir les euros avec certitude. Il s'agit d'une déclaration révélant "l'attitude envers le risque". $5$ $G$ $0$ $1/2$ $10$ $1/2$ $5$

Question: Les préférences de cet individu, telles que décrites par ses deux déclarations, peuvent-elles être représentées par une fonction d'utilité qui possède la propriété d'utilité attendue?

Réponse: non

Preuve: Par sa deuxième déclaration, l'individu a révélé que l'équivalent de certitude du pari est strictement inférieur à euros: $CE_G$ $5$

Nous avons donc cela

\begin{matrix} (2) & E [u (G)] = u (C E_{G}) < u (5) \end{matrix}

$E[u(G)] = u(CE_G) < u(5) \tag{2}$

Maintenant, pour que la propriété de l'utilitaire attendu soit conservée, il doit être le cas que

\begin{matrix} (3) & u [G; p (G)] = E [u (G)] = \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) \end{matrix}

$u[G;p(G)] = E[u(G)] = \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) \tag{3}$

En raison de (qui exprime "l'attitude envers le risque" de l'individu), nous avons que $(2)$

\begin{matrix} (4) & (2), (3) ⟹ \frac{1}{2} u (0) + \frac{1}{2} u (10) < u (5) \end{matrix}

$(2), (3) \implies \frac 12 u(0) + \frac 12 u(10) < u(5) \tag {4}$

Mais cela contredit , qui exprime "l'intensité de préférence" de l'individu. $(1)$

Nous concluons donc qu'un individu dont les préférences sont décrites par les déclarations ci-dessus ne peut pas être représenté par une fonction d'utilité qui possède la propriété d'utilité attendue.

En d'autres termes, pour que la propriété Utilité attendue se maintienne, "l'attitude envers le risque" ne peut pas être dissociée de "l'intensité de préférence". Si l'individu avait déclaré qu'il était indifférent entre les certains euros et le pari , alors ses préférences pourraient être représentées par une fonction d'utilité qui avait la propriété de l'UE. Mais pour y parvenir, nous avons dû «aligner» «l'attitude à l'égard du risque» sur «l'intensité des préférences». $5$ $G$

— Alecos Papadopoulos
source

OK, maintenant que nous avons établi que la quantité vous dit quelque chose sur une personne, ma question demeure, vous dit-elle quelque chose sur l'intensité des préférences? Par exemple, si , cela signifie-t-il nécessairement qu'ils préfèrent 10 dollars à 5 dollars moins fortement qu'ils préfèrent 5 dollars à 0 dollars? Ou cela indique-t-il simplement quelque chose sur les attitudes à l'égard du risque (c.-à-d. Les préférences par rapport à ) qui ne dit rien sur l'intensité des préférences?

\frac{u (x) - u (y)}{u (y) - u (z)}

$\frac {u(x) - u(y)}{u(y) - u(z)}$

\frac{u (10) - u (5)}{u (5) - u (0)} = \frac{1}{3}

$\frac {u(10) - u(5)}{u(5) - u(0)}= \frac{1}{3}$

G (A)

$G(A)$

— Keshav Srinivasan

@KeshavSrinivasan Il classe l' intensité, mais il ne mesure pas l' intensité.

— Alecos Papadopoulos du

D'accord, mais pourquoi classe-t-il même l'intensité? Pourquoi le fait que nécessaire implique-t-il que la préférence de la personne pour 10 dollars sur 5 dollars est moins forte que la préférence de la personne pour 5 dollars sur 0 dollars?

u (10) - u (5) < u (5) - u (10)

$u(10) - u(5) < u(5) - u(10)$

— Keshav Srinivasan

si vous recherchez la référence que j'ai fournie dans ma réponse, vous verrez que vos exemples numériques disent: "Cette personne est indifférente entre dollars avec certitude, et un pari où elle obtient dollars avec probabilité , et dollars avec probabilité . Ah, mais c'est "l'attitude envers le risque", on pourrait dire, "pas les préférences d'intensité". Et qui a dit que "l'attitude envers le risque" est quelque chose de dissocié de "l'intensité de préférence"? SUITE

5

$5$

10

$10$

3 / 4

$3/4$

0

$0$

1 / 4

$1/4$

— Alecos Papadopoulos

SUITE Si j'aime «plus 5», moins que je n'aime pas «moins 5», n'est-il pas logique de penser qu'en matière d'incertitude, je me tromperai un peu plus du côté de ne pas perdre 5 plutôt que de gagner 5 plus? Rappelez-vous, une fonction d'utilité présentant une aversion pour le risque, présente également une utilité marginale décroissante de la richesse. L'attitude à l'égard du risque et l '«intensité des préférences» sont très étroitement liées.

— Alecos Papadopoulos