Demande Marshall pour Cobb-Douglas

En essayant de maximiser l'utilitaire ayant une fonction d'utilité cobb-douglas , avec , j'ai trouvé les formules suivantes ( Wikipedia: Marshallian Demand ): $u=x_1^ax_2^b$ $a+b = 1$

$x_1 = \frac{am}{p_1}\\ x_2 = \frac{bm}{p_2}$

Dans l'un de mes livres, je trouve également ces formules dans le même but:

$x_1 = \frac{a}{a+b}\frac{m}{p_1} \\ x_2= \frac{b}{a+b}\frac{m}{p_2}$

Avec : prix des marchandises; : budget $p_i$ $m$

Je les ai tous testés et ils ont produit les mêmes résultats.
Y a-t-il donc des différences?

— user1170330
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a lien avec exclusivement? à

a

$a$

x_{1}

$x_1$

b

$b$

x_{2}

$x_2$

— Jamzy

Pouvez-vous redresser une notation? Dans le deuxième exemple, a et b sont-ils les exposants de la fonction d'utilité x1 et x2? Est-ce qu'ils totalisent 1? Y dans le premier problème est-il le même que m dans le second?

— BKay

@Jamzy: Oui, c'est le cas.

— user1170330

@BKay: Veuillez consulter mes notations mises à jour.

— user1170330

Réponses:

Puisque les équations sont exactement les mêmes. La substitution de par dans les troisième et quatrième équations donne les première et deuxième équations. $a + b=1$ $a+b$ $1$

— BKay
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Ces formules peuvent-elles également être modifiées pour fonctionner avec une fonction utilitaire comme ? Donc, avec un numéro supplémentaire avant ?

u = 5 x_{1}^{0.5} * 2 x_{2}^{0.5}

$u=5x_1^{0.5}*2x_2^{0.5}$

x_{i}

$x_i$

— user1170330

Je suggère de poser cette question comme une nouvelle question.

— BKay

Et si ? Dois-je utiliser les formules 3 et 4 dans ce cas?

a + b \neq 1

$a+b \neq 1$

— user1170330

@ user1170330 si ça marche toujours

a + b \neq 1

$a+b\neq1$

— Jamzy

C'est ainsi que vous passez de votre première équation à votre seconde. votre fonction d'utilité est puisque je vais la changer légèrement en a et (1-a) Afin d'optimiser ces deux choix, vous devez maximiser l'utilité , par rapport aux variables de votre choix. $u(x_1, x_2)=x_1^a x_2^b$ $a+b=1$

sous réserve de utilisant la loi de Walras. Fondamentalement, afin d'optimiser l'utilité, tout l'argent sera dépensé. $p_1x_1 + p_2x_2 = w$

Les fonctions Cobb-Douglas sont généralement difficiles pour les problèmes d'optimisation. Une transformation monotone qui préserve les propriétés ordinales de la fonction peut être utilisée.

$aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2)$

Ce sera utilisé à la place. La même contrainte budgétaire sera appliquée.

Les conditions Lagrange et First Order sont ci-dessous

$L = aln(x_1) + (1 − a)ln(x_2) − \lambda(w − p_1x_1 − p_2x_2)$

$\frac{δL} {δx_1}= \frac{a} {x_1} − \lambda p_1 = 0$

$\frac {δL} {δx_2}=\frac{1 − a} {x_2} − \lambda p_2 = 0$

la manipulation des conditions de premier ordre entraîne

$\lambda = \frac{a} {x_1p_1}$

$\lambda =\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

$\frac{a} {x_1p_1}=\frac{(1 − a)}{ x_2p_2}$

substituer dans la contrainte budgétaire $p_2x_2 = w − p_1x_1$

$\frac{a}{ x_1p_1}=\frac{(1 − a)} {w − p_1x_1}$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$p_1x_1 = w − p_2x_2$

$\frac{a} {w − p_2x_2}=\frac{(1 − a)}{ p_2x_2}$

$w =\frac{a}{(1 − α)}p_2x_2 + p_2x_2$

$w(1 − a) = p_2x_2$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

En utilisant ces résultats, nous pouvons déterminer les ensembles de consommation optimaux de et pour un prix donné, une combinaison de richesse. $x_1$ $x_2$

$x_1 =\frac{wa}{ p_1}$

$x_2=\frac{w(1 − a)}{p_2}$

— Jamzy
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