Demande Marshall pour Cobb-Douglas


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En essayant de maximiser l'utilitaire ayant une fonction d'utilité cobb-douglas , avec , j'ai trouvé les formules suivantes ( Wikipedia: Marshallian Demand ):u=x1ax2ba+b=1

x1=amp1x2=bmp2

Dans l'un de mes livres, je trouve également ces formules dans le même but:

x1=aa+bmp1x2=ba+bmp2

Avec : prix des marchandises; : budgetpim

Je les ai tous testés et ils ont produit les mêmes résultats.
Y a-t-il donc des différences?


a lien avec exclusivement? àax1bx2
Jamzy

Pouvez-vous redresser une notation? Dans le deuxième exemple, a et b sont-ils les exposants de la fonction d'utilité x1 et x2? Est-ce qu'ils totalisent 1? Y dans le premier problème est-il le même que m dans le second?
BKay

@Jamzy: Oui, c'est le cas.
user1170330

@BKay: Veuillez consulter mes notations mises à jour.
user1170330

Réponses:


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Puisque les équations sont exactement les mêmes. La substitution de par dans les troisième et quatrième équations donne les première et deuxième équations.a + b 1a+b=1a+b1


Ces formules peuvent-elles également être modifiées pour fonctionner avec une fonction utilitaire comme ? Donc, avec un numéro supplémentaire avant ? x iu=5x10.52x20.5xi
user1170330

Je suggère de poser cette question comme une nouvelle question.
BKay

Et si ? Dois-je utiliser les formules 3 et 4 dans ce cas? a+b1
user1170330

@ user1170330 si ça marche toujoursa+b1
Jamzy

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C'est ainsi que vous passez de votre première équation à votre seconde. votre fonction d'utilité est puisque je vais la changer légèrement en a et (1-a) Afin d'optimiser ces deux choix, vous devez maximiser l'utilité , par rapport aux variables de votre choix. a + b = 1u(x1,x2)=x1ax2ba+b=1

sous réserve de utilisant la loi de Walras. Fondamentalement, afin d'optimiser l'utilité, tout l'argent sera dépensé.p1x1+p2x2=w

Les fonctions Cobb-Douglas sont généralement difficiles pour les problèmes d'optimisation. Une transformation monotone qui préserve les propriétés ordinales de la fonction peut être utilisée.

aln(x1)+(1a)ln(x2)

Ce sera utilisé à la place. La même contrainte budgétaire sera appliquée.

Les conditions Lagrange et First Order sont ci-dessous

L=aln(x1)+(1a)ln(x2)λ(wp1x1p2x2)

δLδx1=ax1λp1=0

δLδx2=1ax2λp2=0

la manipulation des conditions de premier ordre entraîne

λ=ax1p1

λ=(1a)x2p2

ax1p1=(1a)x2p2

substituer dans la contrainte budgétairep2x2=wp1x1

ax1p1=(1a)wp1x1

x1=wap1

et

p1x1=wp2x2

awp2x2=(1a)p2x2

w=a(1α)p2x2+p2x2

w(1a)=p2x2

x2=w(1a)p2

En utilisant ces résultats, nous pouvons déterminer les ensembles de consommation optimaux de et pour un prix donné, une combinaison de richesse.x1x2

x1=wap1

x2=w(1a)p2

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