Probabilité conditionnelle dans Kaplan, Menzio (2014)

C'est une question sur Kaplan et Menzio modèle de temps de shopping .

Pages 7,8: Recherche de chômeurs une ou deux fois (pour un vendeur).

• $ \ psi_u $: probabilité de chercher deux fois, une fois avec prob $ 1- \ psi_u $
• $ \ nu $ est la probabilité de trouver un vendeur.
• Les recherches sont indépendantes. Un chômeur qui cherche deux fois a donc la probabilité de trouver deux vendeurs de 2 $.

Maintenant, voici le problème, à la page 10, ils le voient du point de vue du vendeur. Sous réserve que le vendeur soit mis en correspondance avec un acheteur, quelle est la probabilité que l'acheteur soit mis en correspondance avec un autre vendeur?

$$ Prob (\ text {en correspondance second vendeur} | \ text {en correspondance avec le premier vendeur}) = \ frac {Prob (\ text {en correspondance avec les premier et second vendeurs})}} {Prob (\ text {en correspondance avec le premier vendeur})} \\ = \ frac {\ text {rechercher deux fois et trouver les deux fois}} {\ text {rechercher une fois et trouver un vendeur ou rechercher deux fois et trouver un ou deux vendeurs}} \\ = \ frac {\ psi_u \ nu ^ 2} {((1- \ psi_u) * \ nu) + (\ psi_u) * (\ nu + \ nu)} \\ = \ frac {\ psi_u \ nu} {1+ \ psi_u} \\ $$

Cependant, ce qu'ils obtiennent est

$$ \ frac {2 \ psi_u \ nu} {1+ \ psi_u} $$

Ils calculent certaines "probabilités intermédiaires" à la page 8, mais je ne vois pas comment ils aident à obtenir leur résultat. Comment obtient-on leur résultat?

La terminologie premier vendeur / second vendeur peut être déroutante ici (est-ce lié au temps ou à la conditionnalité?). Il est plus sûr de se concentrer sur un vendeur particulier.

Laissons la probabilité qu'un acheteur trouve un vendeur particulier, $ s $, via une recherche unique soit $ \ nu_s $. La probabilité qu'un acheteur soit mis en correspondance avec $ s $ et (avant ou après) un autre vendeur est alors (en supposant que $ \ nu_s $ est petite de sorte que la probabilité de trouver $ s $ deux fois dans au plus 2 recherches peut être ignorée) :

$$ \ psi u (\ nu \ nu \ nu \ nu \ nu s) = 2 \ psi u \ nu_s \ nu $$

La probabilité qu'un acheteur soit jumelé avec $ s $ via une recherche simple ou une recherche double est (en ignorant à nouveau la probabilité, dans le cas d'une recherche double, de trouver deux fois $ s $):

$$ (1- \ psi_u) \ nu_s + \ psi_u (\ nu_s + \ nu_s) = \ nu_s (1+ \ psi_u) $$

La probabilité conditionnelle qu'un acheteur soit mis en correspondance avec $ s $ et qu'un autre vendeur, à condition que $ s $ soit mis en correspondance avec cet acheteur, est donc:

$$ \ frac {2 \ psi_u \ nu_s \ nu} {\ nu_s (1+ \ psi_u)} = \ frac {2 \ psi_u \ nu} {1+ \ psi_u} $$

Mais cette dernière formule ne dépend pas de $ \ nu_s $. Par conséquent, la même formule s'applique à tout vendeur.

Voici une autre façon, en utilisant la même notation qu'Adam, d'obtenir le même résultat:

$$ P (\ text {autre correspondance | en cours de correspondance}) = P (\ text {recherche deux fois | en correspondance}) \ cdot P (\ text {autre correspondance | recherche deux fois}) $$

À présent,

$$ P (\ text {recherche deux fois | en cours de correspondance}) = \ frac {P (\ text {en cherchant deux fois et en faisant correspondre})} {P (\ text {en cours de correspondance})} \\ = \ frac {\ psi_u 2 \ nu_s} {(1+ \ psi_u) \ nu_s} $$

$$ P (\ text {autre correspondance | recherche deux fois}) = \ frac {P (\ text {autre correspondance et recherche deux fois})} {P (\ text {recherche deux fois})} \\ = \ frac {\ psi_u \ nu} {\ psi_u} $$

Alors,

$$ P (\ text {une autre correspondance | recherchée}) = \ frac {\ psi_u 2 \ nu_s} {(1+ \ psi_u) \ nu_s} \ frac {\ psi_u \ nu} {\ psi_u} = \ frac { 2 \ psi_u \ nu} {(1+ \ psi_u)} $$