Simuler un cycle économique réel

Fondamentalement, je dois répliquer le «Guide de l'utilisateur pour résoudre des modèles de cycle économique réels» de Hartley ( http://www.econ.ucdavis.edu/faculty/kdsalyer/LECTURES/Ecn235a/Linearization/ugfinal.pdf ). Plus précisément, je veux simuler le système dynamique impliqué par le modèle qui est spécifié comme suit:

où est la consommation, h est l'offre de travail, k est le capital, z est le processus technologique autorégressif, y est la production et i est l'investissement.$c$$h$$k$$z$$y$$i$

Je le simule en utilisant la logique suivante: disons au temps , tout est à l'état stationnaire et toutes les valeurs sont 0, d'où nous avons k t + 1 . Ensuite, à t + 1 en donnant un choc au système par ε , je résous pour c t + 1 et h t + 1 (comme j'ai le «choqué» z t + 1 et obtenu précédemment k t + 1. Ensuite, Je branche ces deux pour récupérer le reste, à savoir - y t + 1 , $t$$k_{t+1}$$t+1$$\varepsilon$$c_{t+1}$$h_{t+1}$$z_{t+1}$$k_{t+1}$ et répétez le processus.$y_{t+1}, i_{t+1}, k_{t+2}$

Malheureusement, je reçois un processus explosif qui n'a pas de sens:

J'inclus également le code R utilisé pour simuler ceci:

n<-300

data.simulated <- data.table(t = 0, zval = 0, cval = 0, hval = 0, kval = 0, yval = 0, ival = 0)
data.simulated <- rbind(data.simulated, data.table(t = 1, kval = 0), fill = TRUE)

for (ii in 1:n){

  ##initial shocks
  eps <- rnorm(1, mean = 0, sd = 0.007)
  zt1 <- data.simulated[t == ii - 1, zval]*0.95 + eps
  kt1 <- data.simulated[t == ii, kval]

  ##solve for ct, ht
  lmat <- matrix(c(1, -0.54, 2.78, 1), byrow = T, ncol = 2)
  rmat <- matrix(c(0.02 * kt1 + 0.44 * zt1, kt1 + 2.78 * zt1), ncol = 1)

  solution <- solve(lmat, rmat)
  ct1 <- solution[1, ]
  ht1 <- solution[2, ]

  ##now solve for yt1 and kt2 and it1
  yt1 <- zt1 + 0.36 * kt1 + 0.64 * ht1
  kt2 <- -0.07 * ct1 + 1.01 * kt1 + 0.06 * ht1 + 0.1 * zt1
  it1 <- 3.92 * yt1 - 2.92 * ct1

  ##add to the data.table the results
  data.simulated[t == ii, c("zval", "cval", "hval", "yval", "ival") := list(zt1, ct1, ht1, yt1, it1)]
  data.simulated <- rbind(data.simulated, data.table(t = ii + 1, kval = kt2), fill = TRUE)
}


a <- data.simulated[, list(t, cval, ival, yval)]
a <- data.table:::melt.data.table(a, id.vars = "t")
ggplot(data = a, aes(x = t, y = value, col = variable)) + geom_line()

Sy ma question est simple - le système spécifié dans le document est-il intrinsèquement instable et ergo les résultats, ou ai-je fait une erreur quelque part?

Explosivité

$Q^{-1}$$(c,k,h,z)$$k$$h$

$$c_t = 0.54 k_t + 0.02 h_t + 0.44 z_t$$

Simulation

Tout d'abord, nous pouvons exprimer la consommation et le travail en fonction linéaire des variables d'état (pas besoin de résoudre le système à chaque étape de la simulation). Les conditions d'équilibre intertemporel et intratemporel peuvent s'écrire

$$\begin{bmatrix}1 & -0.02 \\ 2.78 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.54 & 0.44 \\ 1 & 2.78 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix}$$

donc après avoir multiplié par un inverse, nous obtenons

$$\begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.53 & 0.47 \\ -0.47 & 1.47 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix}$$

Ensuite, la transition pour les états peut s'écrire

$$\begin{bmatrix} k_{t+1} \\ z_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -0.07 & 0.06 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_t \\ h_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1.01 & 0.1 \\ 0 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \epsilon_{t+1}\end{bmatrix}$$

qui peut être réduit en substituant les variables de contrôle à

$$\begin{bmatrix} k_{t+1} \\ z_{t+1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.94 & 0.16 \\ 0 & 0.95 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_t \\ z_t\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 \\ \epsilon_{t+1}\end{bmatrix}$$

Maintenant, la simulation devrait être triviale, voici un exemple Matlab / Octave:

T = 200;
X = zeros(2,T);
for i=2:T
    X(:,i) = [0.94 0.16; 0 0.95] * X(:,i-1) + [0; 0.007*randn()];
end
Y = [0.53 0.47; -0.47 1.47] * X;
figure
plot(1:T, [X; Y])
legend('k','z','c','h')

Bien sûr, dans la pratique, vous devriez probablement recalculer la solution entière, y compris la décomposition des valeurs propres, afin de pouvoir modifier les paramètres, etc.

NOUVELLES FINALES 20 mars 2015 : J'ai envoyé un e-mail au prof. K. Salyer, l'un des auteurs du Guide de l'utilisateur. Dans une communication répétée, il a vérifié que les deux problèmes (voir ma réponse ci-dessous, ainsi que la réponse @ivansml), existent:

a) L'équation correcte pour la loi du mouvement de consommation est comme le montre @ivansml

$0.007$

$0.007$

---

PHASE A
J'ai vérifié par simulation (et en utilisant l'écart type correct) que le modèle explose, bien qu'il le fasse vers le haut plutôt que vers le bas. Il doit y avoir une erreur de calcul dans l'article, qui n'a cependant pas été "transmise" en quelque sorte aux simulations des auteurs. Pour le moment, je ne peux penser à rien d'autre, car la méthodologie est standard. Je suis intrigué et je travaille donc toujours dessus.

$0.007$

$\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2 = 0.007), \implies SD = 0.0837$

Notez les valeurs sur l'axe vertical: elles sont beaucoup plus grandes que la plage de valeurs qui apparaît sur la figure 1 de l'article des auteurs.

$\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2 = 0.00049), \implies SD = 0.007$

$0.007$$0.000049$$0.007$

J'essaierai de contacter les auteurs sur ces deux sujets.