Extensions des équilibres de Nash aux jeux avec des stratégies infinies

Dans le manuel de Jehle et Reny (que je dois ajouter que je n'ai pas lu bien au-delà de quelques sections intéressantes), un théorème affirmant qu'il existe toujours un équilibre de Nash (mixte) dans les jeux de formes stratégiques finies est prouvé. Le livre suppose que tous les joueurs ont le même nombre d'actions disponibles, mais il n'est pas difficile d'imaginer comment cela pourrait être étendu au cas où ce n'est pas vrai.

Ce qui m'intéresse, cependant, est de savoir s'il y a une certaine extension de cela aux jeux, en particulier ceux où il peut y avoir des choix infinis. Par exemple, il n'y a clairement pas d'équilibre dans un jeu où un joueur gagne en choisissant le plus grand nombre, mais si nous avons, par exemple, le même jeu, mais où le nombre doit être dans l'intervalle (ou n'importe quel intervalle qui contient sa limite supérieure), les meilleures fonctions de réponse "convergent". De même, je soupçonne également qu'il faut des fonctions de coût et de demande «bien comportées» dans les modèles de concurrence pour obtenir de «bons» résultats. $[0, 100]$

En tant que tel, j'ai deux questions:

Existe-t-il une sorte de cadre bien défini dans lequel un jeu avec des choix de stratégie infinis aura un équilibre de Nash?
Quelle serait la lecture pertinente pour cela?

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Réponses:

Oui, il existe un tel paramètre. Le résultat est que

Si l'espace de stratégie de chaque joueur est

convexe

compact

et si les gains sont continus, il existe au moins un équilibre de Nash (éventuellement dans des stratégies mixtes).

Cela vaut même lorsque l'ensemble des actions possibles est infiniment infini. Si l'on suppose en outre que les gains sont quasi-concaves, la correspondance de la meilleure réponse sera convexe même lorsque nous limiterons l'attention aux stratégies pures de sorte que nous sommes alors garantis d'avoir au moins un équilibre dans les stratégies pures dans un tel jeu.

Je crois que la référence originale ici est

IL Glicksberg. " Une nouvelle généralisation du théorème du point fixe de Kakutani, avec une application aux points d'équilibre de Nash ." Actes de l'American Mathematical Society , 3 (1): 170-174, 1952.

Le traitement dans l'article de Glicksberg, cependant, ne semble pas très accessible. Une bonne référence de départ est plus susceptible d'être la section 1.3 du livre de Fudenberg & Tirole "Game Theory" .

— Ubiquitaire
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Est-ce que "fermé et borné" implique nécessairement "convexe et compact"? Je peux imaginer des régions fermées et délimitées dans, disons, qui ne seraient pas convexes.

R^{2}

$\mathbb{R}^2$

Non, la remarque fermée et bornée fait référence à la compacité: la définition d'un ensemble compact est celle qui est à la fois fermée et bornée.

— Ubiquitaire

Bon, désolé, j'ai mal lu l'emplacement du "et".

En fait, l'article cité Glicksberg opère explicitement dans un contexte où cette caractérisation de la compacité n'est pas vraie --- dans un espace vectoriel normé, fermé et borné dans la norme n'implique que la compacité faible *.

— Michael

@densep Dans le jeu de pennies correspondant, les actions disponibles sont discrètes et le jeu a donc un espace de stratégie non convexe, donc la première condition de la déclaration ci-dessus échoue.

— Ubiquitaire

Bien que la compacité et la convexité soient encore nécessaires, la référence suivante traite de l'existence dans les jeux d'espace vectoriel avec certains types de discontinuités.

Reny, P. (1999) "Sur l'existence d'une stratégie pure et mixte d'équilibres de Nash dans les jeux discontinus", Econometrica 67, 1029-1056

— adamski
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