Quel est un exemple de fonction d'utilité où un bien est inférieur?

Supposons que le consommateur ait une préférence standard convexe et monotone par rapport aux pommes et aux bananes.

(Mise à jour: j'aimerais que la préférence soit aussi «standard» que possible. Donc, idéalement, nous avons un MRS décroissant partout et nous avons également «plus c'est mieux» partout.)

Disons que sa préférence peut être représentée par une fonction d'utilité . Il doit satisfaire à une contrainte budgétaire , où est son revenu. $u(A,B)$ $p_AA+p_BB=y$ $y$

Alors, quel est un exemple de fonction utilitaire dans laquelle , au moins dans certaines circonstances? $\frac{\partial A}{\partial y}<0$

Cela me semble une question très simple, mais brièvement Google, je ne trouve rien.

utility preferences

— Kenny LJ
source

Réponses:

Un bien ne peut pas être inférieur sur toute la plage de revenus.

Le document Une fonction d'utilité pratique avec un comportement Giffen montre que pour une personne ayant l'utilité du formulaire:

U (x, y) = α_{1} \ln (x - γ_{x}) - α_{2} \ln (γ_{y} - y)

$U(x,y) = \alpha_1 \ln(x-\gamma_x)- \alpha_2 \ln(\gamma_y - y)$

X est inférieur si et sont positifs, , et dans le domaine et . $\gamma_x$ $\gamma_y$ $0<\alpha_1<\alpha_2$ $x>\gamma_x$ $0\leq y<\gamma_y$

Mise à jour: Si le budget est , donc pour est bien collant ~~inférieur~~ . Réalisé qu'il s'agit en fait d'une élasticité de revenu nulle et non négative, donc elle n'est pas inférieure.

U (x, v) = x + \ln (v)

$U(x,v) = x + \ln(v)$

w

$w$

v^{*} = min (P_{x} / P_{V}, w)

$v^* = \min(P_x / P_V, w)$

w > P_{x} / P_{V}

$w>P_x / P_V$

v

$v$

J'ai trouvé une autre forme fonctionnelle géniale pour une fonction d'utilité où un bien est inférieur mais il a aussi une utilité marginale croissante de l'autre bien: un bien inférieur et une nouvelle carte d'indifférence

U = A_{1} \ln (x) + y^{2} / 2

$U = A_1 \ln(x) + y^2 /2$ Cette fonction donne une carte d'indifférence folle.

L'exemple classique pour moi de produits de qualité inférieure est des choses comme la nourriture bon marché, où une nourriture délicieuse qui est beaucoup plus chère l'évince parce qu'il y a une contrainte supplémentaire (capacité stomacale) qui finit par se lier. Il devrait être facilement possible de faire un exemple où l'infériorité est une conséquence de cette deuxième contrainte plutôt que la fonction d'utilité.

Mettre à jour avec un autre exemple:

L'étude The Case of a «Giffen Good» (Spiegel (2014)) montre que pour une personne ayant une utilité de la forme: où , et sont des valeurs constantes et positives.

U = {\begin{matrix} α X - β X^{2} / 2 + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & 0 \leq X \leq α / β \\ α^{2} / 2 β + λ Y + δ Y^{2} / 2 & f o r & X > α / β \end{matrix}}

$U = \begin{Bmatrix} \alpha X - \beta X^2 / 2 + \lambda Y + \delta Y^2 / 2 & for & 0\leq X\leq \alpha/\beta \\ \alpha^2 /2 \beta + \lambda Y + \delta Y^2 /2 & for& X > \alpha/\beta\end{Bmatrix}$

α, β, λ,

$\alpha, \beta, \lambda,$

δ

$\delta$

Mais comme dans les fonctions ci-dessus, cette fonction d'utilité a une MU croissante dans un bien (Y). Ceci est apparemment courant dans les paramètres Giffen:

Dans le cas d'une fonction d'utilité additive où les utilités marginales de tous les biens diminuent avec la consommation des biens, c'est-à-dire que l'utilité marginale du revenu diminue, tous les biens sont des substituts normaux et nets les uns des autres. Cependant, si pour un certain bien (dans notre cas, le bien Y), l'utilité marginale est positive et croissante et pour le ou les autres biens, l'utilité marginale diminue (dans notre cas, le bon X), alors l'utilité marginale du revenu augmente. Le bien qui présente une utilité marginale croissante est un bien de luxe, tandis que le bien qui présente une utilité marginale décroissante est un bien inférieur. Ces caractéristiques ont été prouvées par Liebhafsky (1969) et Silberberg (1972) et wen: utilisées pour développer la fonction d'utilité ci-dessus qui illustre le cas d'un bien Giffen.

— BKay
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Un problème avec cette fonction est cependant que ce n'est pas tout à fait une fonction utilitaire standard. Comme l'écrit l'auteur lui-même, "dans le cas d'un bon Y, l'utilité marginale augmente à mesure qu'elle est consommée".

— Kenny LJ

Si vous avez des exigences supplémentaires concernant le formulaire fonctionnel, je recommande de les ajouter à votre question pour améliorer la qualité des réponses que vous obtenez.

— BKay

Je l'ai fait: j'ai déclaré que la préférence devait être convexe.

— Kenny LJ

Vous l'avez fait, désolé.

— BKay

Continuons cette discussion dans le chat .

— BKay

Voyons ce que l'infériorité d'un bien dans le cas des deux bons implique. Recherchez «La structure de l'économie» de Silberberg (toujours l'un des meilleurs manuels de microéconomie de premier cycle jamais écrit), ch. 10 pour plus de détails.

La maximisation de l'utilité est décrite par (les étoiles indiquent les niveaux optimaux)

U_{A} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{A} \equiv 0

$U_A(A^*,B^*) - \lambda^*p_A \equiv 0$

U_{B} (A^{*}, B^{*}) - λ^{*} p_{B} \equiv 0

$U_B(A^*,B^*) - \lambda^*p_B \equiv 0$

y - p_{A} A^{*} - p_{B} B^{*} \equiv 0

$y- p_AA^* - p_BB^* \equiv 0$

et notez l'utilisation du symbole d'identité au lieu de la simple égalité - ces relations sont toujours optimales. Ensuite, nous pouvons différencier les deux côtés et maintenir l'identité. Faites cela et résolvez le système d'équations pour déterminer les diverses dérivées, et vous constaterez que si le bon est inférieur, , alors nous devons avoir cette $3 \times 3$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

p_{A} U_{B B}^{*} > p_{B} U_{A B}^{*}

$p_AU^*_{BB}> p_BU^*_{AB}$

Si nous sommes prêts à accepter , alors transversal peut être nul et nous pouvons avoir une fonction d'utilité comme celle mentionnée dans la réponse de @BKay. $U_{BB} >0$ $U_{AB}$

Mais si nous voulons maintenir , alors il doit être le cas que , la dérivée croisée partielle de la fonction d'utilité doit également être strictement négative (et donc non nulle). Cela implique à son tour des préférences qui ne sont pas séparables , additivement ou multiplicativement. $U_{BB} <0$ $U_{AB}$

Vous pouvez peut-être envisager quelque chose comme

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

et les quatre paramètres positifs. Par exemple, pour les valeurs, la carte d'indifférence est $a=5, k=0.4, b=0.2, h=0.8$

entrez la description de l'image ici

Ma conjecture est que pour vous pouvez avoir toute la configuration standard avec une infériorité de (et pour des valeurs de prix appropriées et les autres paramètres bien sûr). Trouvez les conditions du premier ordre, remplacez par dans la contrainte budgétaire et utilisez le théorème de fonction implicite pour déterminer les conditions sur les paramètres requis pour . Et n'oubliez pas de vérifier si ces conditions sont compatibles avec les conditions de second ordre pour la maximisation de l'utilité. $0<h<1$ $A$ $B$ $A$ $\frac {\partial A^*}{\partial y} <0$

COMMENTAIRE 7 octobre 2015
Certains commentaires dans cette réponse me semblent confondre la question de la représentation des préférences et de la préservation du classement des préférences dans les transformations monotones, avec la propriété "d'infériorité" d'un bien. Les préférences et leur représentation n'ont rien à voir avec l'existence d'une contrainte budgétaire. D'un autre côté, l '"infériorité" a tout à voir avec l'existence d'une contrainte budgétaire et la manière dont elle affecte les choix (et non les préférences) lorsqu'elle évolue.

Et la transfomration monotone ne laisse pas tout "inchangé". Considérons la fonction d'utilité , et sa transformation monotone . On peut facilement voir que tandis que , nous avons cela . En d'autres termes, les transformations monotones peuvent préserver le classement des faisceaux, mais cela ne signifie pas qu'elles donnent les mêmes relations entre les biens. Et comme je l'ai écrit ci-dessus, la propriété de "l'infériorité" dépend des signes et des grandeurs relatives des dérivées partielles secondes de la fonction d'utilité utilisée, des signes et des grandeurs relatives qui dépendent de la forme fonctionnelle réelle utilisée. $V = A^k+ B^h$ $U =\ln(A^k+ B^h)$ $\frac {\partial^2 V}{\partial AB} = 0$ $\frac {\partial^2 U}{\partial AB} \neq 0$

— Alecos Papadopoulos
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Does not donne le même ordre de préférence sur des faisceaux en ? Ce ne sont que des préférences de type Cobb-Douglas après avoir pris le journal qui ne devrait pas montrer d'infériorité mais plutôt des parts de budget constantes.

U (A, B) = \ln [a A^{k} + b B^{h}]

$U(A,B) =\ln\left[aA^k + bB^h\right]$

U (A, B) = a A^{k} + b B^{h}

$U(A,B) = aA^k + bB^h$

— BKay

@ Les fonctions utilitaires Cobb-Douglas de BKay représentent des préférences séparables. Comme je l'ai écrit dans ma réponse, il est nécessaire (bien que non suffisant) de ne pas être séparable, afin de pouvoir avoir une infériorité. Et cette forme fonctionnelle spécifique, contrairement aux formes Cobb-Douglas, a cette propriété de non-séparabilité. Sans le logarithme, ce n'est pas le cas. Je laisse le soin à toute personne intéressée de l'explorer davantage.

— Alecos Papadopoulos

Juste pour souligner, comme l'a fait @Bkay, est une transformation monotone de . Les deux représentent donc la même préférence.

\ln [a A^{k} + b B^{h}]

$\ln [aA^k +bB^h]$

a A^{k} + b B^{h}

$aA^k +bB^h$

— Kenny LJ

@KenyLJ Ce qui compte pour votre question, qui concerne les formes fonctionnelles qui peuvent refléter l'infériorité, est de savoir si la forme fonctionnelle est caractérisée par la séparabilité ou non (si l'on veut maintenir des dérivées secondes décroissantes de la fonction d'utilité).

— Alecos Papadopoulos

Alecos, c'est époustouflant. Ce que vous dites, c'est qu'une personne ayant exactement les mêmes préférences (ce qu'elles sont, car il s'agit d'une transformation monotone) peut choisir différents forfaits de consommation, selon la façon dont vous écririez sa fonction d'utilité. S'il vous plaît ...

Il est assez difficile d'obtenir des modèles maniables avec des propriétés raisonnables / réalistes. Un cas général de produits est donné par Sørensen dans Heijman et al. (2012) , p. 100-3. Un autre exemple, pour deux biens et à domaine limité, est donné par Haagsma (2012) . La vérification des références qui s'y trouvent est le moyen le plus simple d'obtenir une collection substantielle de fonctions d'utilité pour les biens inférieurs - bien qu'il semble qu'il y ait plus de littérature sur les biens Giffen que les biens inférieurs moins exigeants. $n$

En ce qui concerne la discussion précédente sur la convexité des préférences, les fonctions d'utilité qui produisent des fonctions de demande différentes lors d'une transformation monotone positive ne sont pas quasi-concaves et, par conséquent, les préférences ne sont pas convexes, étant donné que la quasiconcavité est préservée avec toute composition non décroissante. Que la fonction suggérée par Alecos Papadopoulos ne soit pas Cobb-Douglas devrait être facile à voir.
Néanmoins, s'il est quasi-concave, alors produira les mêmes fonctions de demande (et les mêmes effets de prix et de revenu) que où est un positif transformation monotone, indépendamment du fait que soit ou non faiblement séparable Une mise en garde: prudence pour les effets sur le domaine. $u(x_1,x_2)$ $v(x_1,x_2)=f(u(x_1,x_2)$ $f$ $u$

— dugo
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