Connaissance courante et puzzle des chapeaux rouges

Voici un casse-tête censé aider à éclairer les connaissances communes en théorie des jeux. Trois filles sont assises en cercle, chacune portant un chapeau rouge ou blanc. Chacun peut voir la couleur de tous les chapeaux sauf le leur. Supposons maintenant qu'ils portent tous des chapeaux rouges.

On dit que si l'enseignant annonce qu'au moins un des chapeaux est rouge, puis demande séquentiellement à chaque fille si elle connaît la couleur de son chapeau, la troisième fille interrogée saura que son chapeau est rouge. Je comprends le raisonnement là-bas. Le premier doit avoir vu au moins un chapeau rouge sur les deux autres pour dire que je ne sais pas. Et la deuxième fille doit avoir vu un chapeau rouge sur la troisième, sinon elle en déduirait que la première fille a vu un chapeau rouge sur elle.

Ce que je ne comprends pas, c'est la nécessité de l'enseignant. Tout le monde sait qu'il y a au moins un chapeau rouge. Et, si nous partons de connaissances communes, ils devraient comprendre que tout le monde le sait. L'enseignant n'est-il donc introduit que si la connaissance commune n'est pas une supposition?

Source: http://cowles.econ.yale.edu/~gean/art/p0882.pdf

Sans l'enseignant, tout le monde sait qu'il y a au moins un chapeau rouge, mais personne ne sait que tout le monde le sait - le fait n'est pas de notoriété publique.

Avec l'introduction de l'enseignant,

• La fille 1 ne répond pas. En raison de la connaissance commune , 2 et 3 peuvent raisonner: "1 sait qu'il y a au moins un chapeau rouge, et comme elle ne connaît pas sa couleur, 2 et / ou 3 doivent avoir un chapeau rouge.

Sans l'introduction de l'enseignant,

• La fille 1 ne répond pas. Sans connaissance commune, il n'y a rien que 2 et 3 puissent raisonner en plus de leurs connaissances antérieures: 2 continuera à savoir que 3 a un chapeau rouge, et 3 continuera à savoir que 2 a un chapeau rouge. Rien de plus.

En d'autres termes: sans l'enseignant, l'ensemble des connaissances est:

• 1: 2 + 3 ont des chapeaux rouges
• 2: 1 + 3 ont des chapeaux rouges
• 3: 1 + 2 ont des chapeaux rouges

L'enseignant travaille comme un injecteur de connaissances supplémentaires:

• 1: 2 + 3 savent tous les deux qu'il y a au moins un chapeau rouge
• 2: 1 + 3 savent tous les deux qu'il y a au moins un chapeau rouge
• 3: 1 + 2 savent tous les deux qu'il y a au moins un chapeau rouge

Et, la connaissance commune signifie qu'au niveau suivant, tout le monde sait que tout le monde sait

• 1: 2 + 3 savent tous les deux que je sais qu'il y a au moins un chapeau rouge

etc, à l' infini . Ces informations supplémentaires sont nécessaires pour résoudre le puzzle.

Je pense que vous dites essentiellement: sans l'annonce de l'enseignant, n'est-il pas de notoriété publique que tout le monde voit au moins 1 chapeau rouge? (Vous avez dit: "Tout le monde sait qu'il y a au moins un chapeau rouge. Et, si nous partons de la connaissance commune, ils devraient comprendre que tout le monde le sait.")

Je ne pense pas. La personne 1 voit les personnes 2 et 3 porter des chapeaux rouges. Oui, je pense: "2 voit un chapeau rouge sur 3."

Pourtant, je pense en outre: "Si 2 voit mon chapeau est blanc, alors 2 pense que 3 pourraient voir les deux chapeaux blancs: le mien et les 2, qui pourraient aussi être blancs. Je pense donc que 2 pourraient penser que 3 pourraient ne pas voir un rouge En d'autres termes, je ne sais pas que 2 sait que 3 sait qu'il y a au moins 1 chapeau rouge. Ce n'est pas de notoriété publique qu'il y a au moins 1 chapeau rouge, parce que je pense qu'il est possible que 2 pense que 3 ne voit pas un chapeau rouge. "

Cela décompose l'ancienne solution de cette façon. Supposons que 3 et 2 disent séquentiellement qu'ils ne savent pas de quelle couleur ils portent le chapeau. Ensuite, c'est au tour de 1. Je pense: "Si 2 sait que 3 voit un chapeau rouge, alors mon chapeau est rouge. Parce que sinon mon chapeau est blanc, alors 2 conclut que son chapeau est le chapeau rouge que 3 voit. que 3 voit un chapeau rouge? Par ce qui précède, non, je ne sais pas! Je ne sais pas que 2 sait que 3 sait qu'il y a un chapeau rouge. Et en particulier, ce n'est pas de notoriété publique! "

Conclusion: sans l'annonce de l'enseignant, nous perdons (1) des connaissances communes et (2) l'ancienne solution dans laquelle la dernière personne à deviner peut deviner la couleur de son chapeau.