Propriété de submodularité dans les jeux de congestion?

Soit $G$ un jeu de congestion à joueurs et éléments . $n$ $m$

Pour un équilibre , notons $e$

S U P (e) ≜< s u p_{1} (e), s u p_{2} (e), \dots, s u p_{n} (e) >

$SUP(e)\triangleq<sup_1(e),sup_2(e),\ldots, sup_n(e)>$

Où $sup_i(e)$ contient le support du $i$ ème joueur jouant $e$ (l'ensemble des stratégies que $i$ joue avec une probabilité positive).

En outre, nous disons que $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ siff $\forall i\in[n]: sup_i(e)\subseteq sup_i(e')$ , c'est-à-dire que chaque joueur dans $e$ randomise son action sur un sous-ensemble des actions qu'il aurait pu choisir de jouer $e'$ .

Une dernière définition est le coût social, $SC(e)$ qui est défini comme la somme des coûts pour les joueurs.

Laissez $e,e'$ deux (éventuellement mixtes) pour équilibres $G$ .

Est-ce que
$S U P (e) \subseteq S U P (e^{'})$ $SUP(e)\subseteq SUP(e')$ implique $S C (e) \leq S C (e^{'})$ $SC(e) \leq SC(e')$ ?

game-theory nash-equilibrium congestion-games

— RB
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Voulez-vous dire

S C (e) \geq S C (e^{'})

$SC(e)\geq SC(e')$ ? Intuitivement, on pourrait penser que concentrer le jeu d'équilibre autour de moins d'éléments entraînerait une congestion de chaque élément.

— Ubiquitous

@Ubiquitous - Je pense que c'est tout le contraire. Chaque joueur est concentré sur moins d'éléments, ce qui signifie que moins de joueurs utilisent chaque élément. Le fait que chaque joueur choisisse maintenant un sous-ensemble d'éléments, et c'est toujours un équilibre , pourrait signifier que la société y gagne (sinon, il semble que le joueur va probablement revenir à l'utilisation de plus d'éléments).

— RB

Dépend de la fonction de coût (retard). Le jeu en question est incomplètement spécifié, car les gains (coûts) sont absents.

— Sander Heinsalu

Cette proposition n'est généralement pas vraie . On peut montrer que c'est vrai dans le cas et . Ici, je présente un contre-exemple lorsque et . $n=2$ $m=2$ $n=3$ $m=2$

Un bref commentaire. On peut reformuler la question en mots: un équilibre de Nash "plus aléatoire" ( versus ) est-il moins efficace? Intuitivement, à mesure que des stratégies plus mixtes sont jouées, le résultat obtenu est plus aléatoire et il peut être très inefficace en raison d'un manque de coordination entre les agents. Lorsque les agents jouent des stratégies pures, nous pouvons penser que nous réduisons le problème de coordination étant donné que nous considérons les équilibres de Nash. Cette intuition ne tient pas si la proposition est fausse, comme je le montrerai quand et . $e'$ $e$ $n=3$ $m=2$

Notons et les deux actions possibles. Les fonctions de retard sont définies comme suit: , , et , , . Cela signifie que lorsque agents jouent (resp. ), ils reçoivent le gain (resp. ). Il s'agit d'un jeu de congestion (symétrique) tant que les fonctions de retard augmentent. $A$ $B$ $d_A(1)=5$ $d_A(2)=7$ $d_A(3)=10$ $d_B(1)=1$ $d_B(2)=6$ $d_B(3)=7$ $x$ $A$ $B$ $-d_A(x)$ $-d_B(x)$

Définir que l'équilibre lorsque 1 ' agent joue et 2 agents jouer . Définissez comme l'équilibre quand 1 agent joue toujours , et les 2 autres jouent avec une probabilité et avec une probabilité . Il satisfait la propriété . $e$ $A$ $B$ $e'$ $B$ $A$ $\mu=2/3$ $B$ $1-\mu=1/3$ $sup(e) \subseteq sup(e')$

Tout d'abord, nous montrons que est un équilibre de Nash. L'agent qui joue maximise son gain étant donné la stratégie des deux autres joueurs lors du choix de vaut mieux que de choisir , (soit ). Les deux agents qui jouent $e$ $A$ $A$ $B$ $d_A(1)<d_B(3)$ $5<7$ jouent de façon optimale si (c'est-à-dire ). est donc un équilibre de Nash et son coût social est $B$ $d_B(2)<d_A(2)$ $6<7$ $e$ . $d_A(1)+2d_B(2)=17=\frac{153}{9}$

Deuxièmement, nous montrons que est un équilibre de Nash. D'une part, l'agent qui joue maximise son gain lorsque les deux autres jouent une stratégie mixte s'il vaut mieux jouer que , $e'$ $B$ $B$ $A$ soit

(1 - μ)^{2} {ré}_{B} (3) + 2 μ (1 - μ) {ré}_{B} (2) + μ^{2} {ré}_{B} (1) < (1 - μ)^{2} {ré}_{UNE} (1) + 2 μ (1 - μ) {ré}_{UNE} (2) + μ^{2} {ré}_{UNE} (3)

$(1-\mu)^2d_B(3)+2\mu(1-\mu)d_B(2)+\mu^2d_B(1)<(1-\mu)^2d_A(1)+2\mu(1-\mu)d_A(2)+\mu^2d_A(3)$

, ce qui est vrai. En revanche, chacun des agents jouant la stratégie mixte est indifférent entre choisir

soit

\frac{1}{9} 5 + \frac{4}{9} 7 + \frac{4}{9} 10 < \frac{1}{9} 7 + \frac{4}{9} 6 + \frac{4}{9} 1

$\frac{1}{9}5+\frac{4}{9}7+\frac{4}{9}10<\frac{1}{9}7+\frac{4}{9}6+\frac{4}{9}1$

A

$A$

B

$B$

μ {ré}_{UNE} (2) + (1 - μ) {ré}_{UNE} (1) = μ {ré}_{B} (2) + (1 - μ) {ré}_{B} (3)

$\mu d_A(2)+(1-\mu)d_A(1)=\mu d_B(2)+(1-\mu)d_B(3)$

est alors un équilibre de Nash et son coût social est

\frac{19}{3} = \frac{19}{3}

$\frac{19}{3}=\frac{19}{3}$

e^{'}

$e'$

qui est égal à

(1 - μ)^{2} [3 {ré}_{B} (3)] + 2 μ (1 - μ) [{ré}_{UNE} (1) + 2 {ré}_{B} (2)] + μ^{2} [2 {ré}_{UNE} (2) + {ré}_{B} (1)]

$(1-\mu)^2 [3d_B(3)]+2\mu(1-\mu)[d_A(1)+2d_B(2)]+\mu^2[2d_A(2)+d_B(1)]$

\frac{1}{9} 21 + \frac{4}{9} 17 + \frac{4}{9} 15 = \frac{149}{9}

$\frac{1}{9}21+\frac{4}{9}17+\frac{4}{9}15=\frac{149}{9}$

Enfin, nous avons montré que mais . L'équilibre de Nash à stratégie mixte entraîne un coût social inférieur à celui à stratégie pure. $sup(e) \subseteq sup(e')$ $SC(e) > SC(e')$

— GuiWil
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