Que sont les FOC et les SOC?

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Je continue à voir les termes conditions de premier ordre et conditions de second ordre utilisés dans ma classe d'économie de premier cycle sur les fonctions de production, les monopoles, etc. mais je n'ai aucune idée de ce que ces termes signifient. Cela semble être un terme complètement ambigu. Quel genre de conditions?

Quelqu'un peut-il expliquer ce que ces termes signifient? S'il dépend du contexte, à condition que certains d'entre eux aient la signification la plus élémentaire que vous associez au terme.

microeconomics

— Stan Shunpike
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Supposons que vous ayez une fonction différenciable , que vous souhaitez optimiser en choisissant . Si est une utilité ou un profit, alors vous voulez choisir (c'est-à-dire le lot de consommation ou la quantité produite) pour rendre la valeur de aussi grande que possible. Si est une fonction de coût, alors vous voulez choisir pour que aussi petit que possible. FOC et SOC sont des conditions qui déterminent si une solution maximise ou minimise une fonction donnée. $f(x)$ $x$ $f(x)$ $x$ $f$ $f(x)$ $x$ $f$

Au premier cycle, ce qui est généralement le cas, c'est que vous devez choisir telle sorte que la dérivée de soit égale à zéro: C'est le FOC. L'intuition pour cette condition est qu'une fonction atteint son extremum (maximum ou minimum) lorsque sa dérivée est égale à zéro (voir l'image ci-dessous). [Vous devez savoir qu'il y a plus de subtilités impliquées: recherchez des termes comme "solutions intérieures vs solutions de coin", "global vs local maximum / minimum" et "point de selle" pour en savoir plus]. $x^*$ $f$

f^{'} (x^{*}) = 0.

$f'(x^*)=0.$

Exemples de fonctions où x_star est un maximum et un minimum

Cependant, comme l'illustre l'image, il ne suffit pas de trouver où pour conclure que est la solution qui maximise ou minimise la fonction objectif. Dans les deux graphiques, la fonction atteint une pente nulle à , mais est un maximiseur dans le graphique de gauche, mais un minimiseur dans le graphique de droite. $x^*$ $f'(x^*)=0$ $x^*$ $x^*$ $x^*$

Pour vérifier si est un maximiseur ou un minimiseur, vous avez besoin du SOC. Le SOC pour le maximiseur est et le SOC pour le minimiseur est Intuitivement, si maximise , la pente de autour de est décroissant. Prenez le graphique de gauche, où est un maximiseur. On voit que la pente de est positive à gauche de et négative à droite. Ainsi, autour du voisinage de , lorsque augmente, diminue. L'intuition pour le cas du minimiseur est similaire. $x^*$

f^{″} (x^{*}) < 0

$f''(x^*)<0$

f^{″} (x^{*}) > 0.

$f''(x^*)> 0.$

x^{*}

$x^*$

f

$f$

f

$f$

x^{*}

$x^*$

x^{*}

$x^*$

f

$f$

x^{*}

$x^*$

x^{*}

$x^*$

x

$x$

f^{'} (x)

$f'(x)$

— Herr K.
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Mais pourquoi on ne l'appelle pas "Test dérivé premier" est toujours un mystère pour moi.

— gagarine

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Par exemple, lorsque vous parlez de maximisation du profit à partir d'une fonction de profit , la condition principale pour un maximum est la suivante: Ceci est le FOC (premier état de la commande). $\pi(q)$

\frac{\partial π}{\partial q} = 0

$\frac{\partial \pi}{\partial q}=0$

Cependant, pour être sûr que ce que vous avez trouvé ci-dessus est un vrai maximum, vous devez également vérifier une condition "secondaire" qui est: Ceci est appelé le SOC (condition de second ordre).

\frac{\partial^{2} π}{\partial q^{2}} < 0

$\frac{\partial^2 \pi}{\partial q^2}<0$

— ChicagoCubs
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L'objectif est de trouver un maximum local (ou minimum) d'une fonction.

Si la fonction est différenciable deux fois:

Le premier test dérivé vous dira s'il s'agit d'un extremum local.
Le deuxième test dérivé vous dira s'il s'agit d'un maximum local ou d'un minimum.

Dans le cas où votre fonction n'est pas différenciable, vous pouvez faire un test extremum plus général .

Remarque: il est impossible de construire un algorithme pour trouver un maximum global pour une fonction arbitraire .

Les économistes néoclassiques renomment certainement ces deux méthodes mathématiques en conditions de premier ordre et en conditions de second ordre pour avoir l'air cool ou pour d'autres raisons historiques. Pourquoi utiliser un nom largement utilisé alors que vous pouvez simplement en créer un?

Le terme est également utilisé sur la maximisation contrainte lorsqu'ils utilisent la méthode du multiplicateur de Lagrange et les conditions de Karush – Kuhn – Tucker . Encore une fois, je ne pense pas que le terme soit utilisé par des non-économistes.

— gagarine
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