Recherche d'une fonction de demande à partir d'une fonction utilitaire min (x, y)

Je suis confus sur un point particulier concernant la recherche d'une fonction de demande. Tous les problèmes dans cet ensemble de pratique que je fais ont impliqué d'appliquer la méthode des multiplicateurs lagrangiens. Mais je ne sais pas si cela s'applique ici à ce problème.

Configuration du problème

Considérons un consommateur avec la fonction d'utilité . Supposons que l'on nous donne la richesse w et les prix p_x = 1, p_y = \ frac {1} {2} .$u(x,y) = \min\lbrace x,y\rbrace$$w$$p_x = 1, p_y = \frac{1}{2}$

Mon travail

Pas grand chose à faire pour le moment. Tout ce que j'ai fait a été de mettre en place une contrainte budgétaire $w = xp_x + yp_y = x + \frac{1}{2} y$ .

Ma confusion

J'étais prêt à configurer une équation du multiplicateur lagrangien quand je me suis soudain rendu compte que ma fonction d'utilité était une fonction $\min$ . Au début, je pensais que cette fonction n'était pas différenciable. Maintenant, je pense que ce n'est pas différenciable mais c'est partiellement différenciable. Je ne suis toujours pas sûr.

My Guess

Je soupçonne que oui $\min$ est partiellement différenciable en fonction de ce fil

/math/150960/derivative-of-the-fx-y-minx-y

Mais je soupçonne que ma réponse aura besoin d'un composant par morceaux ou quelque chose.

Ma question

Les multiplicateurs lagrangiens sont-ils applicables ici? Si oui, comment définir le lagrangien en termes par morceaux comme je pense que je devrai le faire? S'il n'est pas différenciable, comment dériver une fonction de demande à partir d'une fonction ou ?$\min$$\max$

Non, vous ne devriez pas utiliser ici les multiplicateurs de Lagrange, mais une bonne réflexion. Supposons que , disons pour le concret . Soit . Alors Ainsi, la consommatrice pourrait réduire sa consommation de bien 2, sans être pire. Par contre pour tout , on aurait , donc le consommateur pourrait être meilleur de en réduisant la consommation du deuxième bien et en dépensant l'argent libéré pour le premier bien. Dans un optimum, un consommateur ne peut pas s'améliorer donc l'optimalité nécessite . Il est également clair que les consommateurs s'améliorent le long de$x\neq y$$x<y$$\epsilon=y-x$$\min\{x,y\}=x=\min\{x,x\}=\min\{x,y-\epsilon\}.$$\delta>0$$\min\{x+\delta,y-\epsilon/2\}>x=\min\{x,y\}$$x=y$$x=y$Rayon 45 °. Vous pouvez donc simplement utiliser comme condition d'optimalité à substituer à votre contrainte budgétaire et contourner les multiplicateurs de Lagrange.$x=y$