Vous aidez à comprendre les multiplicateurs lagrangiens?

J'essaie de comprendre les multiplicateurs lagrangiens et j'utilise un exemple de problème que j'ai trouvé en ligne.

Configuration du problème:

Considérons un consommateur avec la fonction d'utilité , où . Supposons que ce consommateur possède la richesse et les prix . C'est tout ce qu'on nous a donné.$u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha}$$\alpha \in (0,1)$$w$$p =(p_x,p_y)$

Travail que j'ai fait:

J'ai ensuite défini une équation de contrainte budgétaire: . J'ai également défini un lagrangien associé pour le problème de maximisation du consommateur: .$w = xp_x + yp_y$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Ma question:

Qu'est-ce que cette équation me permet de faire? Bien que je l'ai mis en place compte tenu de la formule sur la page de Wikipedia sur les multiplicateurs lagrangiens, je n'ai vraiment aucune idée de l'objectif de cette équation. Comme je ne comprends pas comment l'équation donnée me permet de déterminer comment maximiser ma fonction d'utilité.

Remarque: Je connais le calcul multivariable et les lagrangiens ( ) en physique, mais cette méthode est nouvelle pour moi.$L = T -V$

Une fonction d'optimisation contrainte maximise ou minimise un objectif soumis à une ou plusieurs contraintes. Si je comprends bien, l'approche du multiplicateur lagrangien transforme un problème d'optimisation contraint (I) en un problème d'optimisation non contraint (II) où les valeurs de contrôle optimales pour le problème II sont également les valeurs de contrôle optimales pour le problème I.En outre, les fonctions objectives dans les problèmes I et II prennent les mêmes valeurs optimales. L'astuce est une façon intelligente de placer directement les contraintes dans la fonction objectif plutôt que de les utiliser séparément.

Je suis d'accord avec votre présentation du problème de maximisation du consommateur: .$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda ((xp_x+yp_y)-w)$

Maintenant, nous prenons les dérivées partielles par rapport à x et y, les mettons égales à zéro, puis résolvons pour x * et y *.

$0=\partial\Lambda / \partial x = \alpha x^{\alpha -1 } y^{1-\alpha} + \lambda p_x = (\alpha / x ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_x$

$\Rightarrow -\lambda = (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$0 =\partial\Lambda / \partial y = (1 - \alpha) x^{\alpha} y^{-\alpha} + \lambda p_y = ((1 - \alpha) / y ) x^{\alpha } y^{1-\alpha} + \lambda p_y$

$\Rightarrow -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) x^{\alpha } y^{1-\alpha} = -\lambda = ((1- \alpha) / (y p_y)) x^{\alpha } y^{1-\alpha}$

$\Rightarrow (\alpha / (x p_x)) = ((1- \alpha) / (y p_y))$

$\Rightarrow ( y p_y ) / (1- \alpha) = (x p_x) / \alpha$ (eqn 1)

Récupérez l'équation de contrainte budgétaire en prenant la dérivée .$\partial\Lambda / \partial \lambda = 0$

$0 = \partial\Lambda / \partial \lambda = xp_x + yp_y - w \Rightarrow xp_x / w + yp_y /w = 1$ (eqn 2)

Nous avons maintenant deux équations et deux inconnues (x, y) et pouvons résoudre pour x * et y *.

$\Rightarrow yp_y / w = xp_x/w \cdot (1 / \alpha - 1) = xp_x/w / \alpha - xp_x/w$

$\Rightarrow 1 = yp_y / w + xp_x/w = xp_x/w / \alpha$

$\rightarrow \alpha = xp_x/w$ (résultat 1)

$\Rightarrow \alpha = xp_x/w = 1 - yp_y /w$

$\rightarrow 1-\alpha =yp_y/w$ (résultat 2)

Les résultats 1 et 2 forment le fameux résultat des parts de dépenses constantes pour les fonctions d'utilité et de production de Cobb-Douglas. Ce qui peut également être explicitement résolu pour x * et y *: et qui sont les valeurs optimales pour le Lagrangien et les problèmes d'origine.y ∗ = ( 1 - α ) w / p $x^* = \alpha w /p_x$$y^* = (1-\alpha) w /p_y$

C'est pour l' intuition, pas pour la rigueur, et suppose que nous savons de quelle manière vous voudriez vous écarter de la contrainte. Ici, c'est facile; vous voudriez dépenser trop, nous invoquons donc Lagrange pour vous discipliner à dépenser plutôt que plus. Pensez au problème dans les étapes suivantes:$w$

1. Vous souhaitez sortir et consommer de la pizza ( ) et de la bière ( ), et demander à vos parents d'emprunter une carte de crédit.$x$$y$
2. Vos parents vous connaissent, donc avec la carte de crédit, vous obtenez l'avertissement suivant: si vous dépensez plus que , nous laisserons notre méchant voisin M. Lagrange vous frapper les doigts, livrant une douleur digne des utilités par dollar que vous dépensez.$w$$\lambda$
3. Regardez le Lagrangien; c'est maintenant votre utilité nette de pénalité, en fonction de la pizza ( ), de la bière ( ) et de la douleur ( ). De votre point de vue, vous maximisez simplement cela pour un donné (ce qui signifie, en particulier, que si est très petit, un dépassement de votre budget vaudra un petit nombre de gifles de M. Lagrange).y λ ⋅ ( x p x + y p y - w ) λ $x$$y$$\lambda\cdot(xp_x+yp_y-w)$$\lambda$$\lambda$
4. Du point de vue de vos parents, ils veulent ajuster au nombre qui vous fait choisir volontairement de dépenser précisément , laissant M. Lagrange à distance. ( Si vous choisissez plus haut, vous sous-dépenserez, vous pouvez ajuster l'interprétation en conséquence.)w $\lambda$$w$$\lambda$
5. Bien sûr, vous choisirez alors précisément le niveau où vous êtes indifférent entre avoir et ne pas avoir le paquet de consommation supplémentaire et de pénalité. D'où l'interprétation du prix fictif: est (plus précisément: approximations de premier ordre) combien vous seriez prêt à payer - dans les mêmes unités que votre fonction objectif! pour augmenter votre budget.$\lambda$

Quant à la suggestion de changer de signe sur la contrainte: bien sûr ça marche mathématiquement, mais je ne l'utilise presque jamais à des fins pédagogiques; en le laissant tel quel, expose une contrainte (que vous n'aimez pas, elle réduit votre utilité) comme équivalente à une taxe (que vous n'aimez pas non plus, pour la même raison) . D'un point de vue économique, on se fait une idée de la contrainte mise en place par une taxe, ce qui est instructif dans la modélisation par exemple des taxes pigouviennes internalisant les externalités (négatives indésirables).$u-\lambda(xp_x+yp_y-w)$

L'utilisation de multiplicateurs Lgrange pour optimiser une fonction sous contraintes est une technique utile , bien qu'en fin de compte, elle fournit des informations et des informations supplémentaires. S'en tenir au cas des contraintes d'égalité, le problème

$$\max_{(x,y)} u(x,y) = x^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$ $$\text {s.t.} \;\;w = p_xx + p_yy$$

peut bien sûr se transformer en un problème non contraint par substitution directe:

$$\max_{y} u(x,y) = \left(\frac {w-yp_y}{p_x}\right)^{\alpha} y^{1-\alpha},\;\; \alpha \in (0,1)$$

Mais en général, la substitution directe peut produire des expressions encombrantes (en particulier dans les problèmes dynamiques), où une erreur algébrique sera facile à faire. La méthode Lagrange a donc ici un avantage. De plus, le multiplicateur de Lagrange a une interprétation économique significative. Dans cette approche, nous définissons une nouvelle variable, disons , et nous formons la "fonction lagrangienne"$\lambda$

$$\Lambda(x,y,\lambda) = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-p_xx-p_yy)$$

Tout d'abord, notez que est équivalent à , car la partie ajoutée à droite est identique à zéro. Maintenant on maximise le lagrangien par rapport aux deux variables et on obtient les conditions du premier ordre$\Lambda(x,y,\lambda)$$u(x,y)$

$$\frac {\partial u}{\partial x} = \lambda p_x$$

$$\frac {\partial u}{\partial y} = \lambda p_y$$

Égalisant par , cela fournit rapidement la relation fondamentale$\lambda$

$$\frac {\partial u/\partial x} {\partial u/\partial y}= \frac {p_x}{p_y}$$

Cette relation optimale, associée à la contrainte budgétaire, fournit un système à deux équations à deux inconnues, et fournit ainsi la solution en fonction des paramètres exogènes (le paramètre d'utilité , les prix et la richesse donnée ).$(x^*, y^*)$$\alpha$$(p_x,p_y)$$w$

Pour déterminer la valeur de , multipliez chaque condition de premier ordre par et respectivement, puis additionnez par côtés pour obtenir$\lambda$$x$$y$

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = \lambda (p_xx+p_yy) = \lambda w$$

Avec une utilité homogène de degré un, comme c'est le cas avec les fonctions Cobb-Douglas, on a que

$$\frac {\partial u}{\partial x}x+\frac {\partial u}{\partial y}y = u(x,y)$$

et donc au paquet optimal que nous avons

$$u(x^*,y^*) =\lambda^*w$$

Et c'est ainsi que le multiplicateur de Lagrange acquiert une interprétation économiquement significative: sa valeur est l' utilité marginale de la richesse . Maintenant, dans le contexte de l' utilité ordinale , l'utilité marginale n'a pas vraiment de sens (voir aussi la discussion ici ). Mais la procédure ci-dessus peut être appliquée par exemple à un problème de minimisation des coûts, où le multiplicateur de Lagrange reflète l'augmentation du coût total par une augmentation marginale de la quantité produite, et c'est donc le coût marginal.

Je vous recommanderais de parcourir cette réponse paragraphe par paragraphe, en vous assurant de les avoir chacun à tour de rôle, sinon vous serez confus. Vous pouvez même ignorer les versions ultérieures si cela n'est pas nécessaire pour votre objectif.

L'idée principale est que si le point est conditionnel extremum, alors c'est nécessairement un point stationnaire du lagrangien, c'est-à-dire un tel point, que toutes les dérivées partielles du lagrangien y sont nulles. Pour résoudre le problème, vous devez identifier tous les points stationnaires et trouver le maximum parmi eux.

Cependant, en général, cette recette n'est pas fiable pour l'entité, car le maximum peut ne pas exister. Habituellement, vous pouvez vérifier son existence avec le théorème de Weierstrass. Il faut que la fiction soit continue et que l'ensemble soit compact ce qui est le cas ici. En général, cela signifie que vous devez vérifier tous les points limites de l'ensemble en question, les points et les points .$x= 0$$y = 0$

Dans ce cas, votre équation est insuffisante pour la solution, car l'ensemble que vous considérez est défini par des inégalités plutôt que des égalités. Vous pouvez remarquer que la fonction est monotone en et , donc le maximum est sur la limite supérieure droite. L'utilité est également 0 si ou , alors qu'il existe des points réalisables où elle est strictement positive, de sorte que le maximum ne peut être atteint ni à gauche ni à des limites inférieures. Cette approche est alors totalement justifiée.y x = 0 y = $x$$y$$x = 0$$y=0$

À l'avenir, vous devriez être conscient de ce problème si un tel type doit généralement être résolu en appliquant le théorème de Kuhn-Tucker et je vous recommande de vous familiariser avec celui-ci après avoir saisi ce matériel.

Comme d'autres l'ont noté, l'essence de la méthode de Lagrange est de convertir un problème d'extrémités contraintes en une forme telle que le FOC du problème d'extrémum libre puisse être appliqué. Dans votre configuration, vous avez transformé le problème non contraint ( ) en:$\max u(x,y)$

$$\Lambda = x^{\alpha} y^{1-\alpha} + \lambda (w-(xp_x+yp_y))$$

Si vous supposez que la restriction sera respectée, c'est-à-dire que , alors le dernier terme disparaîtra indépendamment de la valeur de , de sorte que sera identique à . L'astuce consiste à traiter comme une variable de choix supplémentaire, maximisant ainsi . Puisque la première condition d'ordre pour estλ $xp_x+yp_y=w$$\lambda$$\Lambda$$u$$\lambda$$\Lambda(x,y,\lambda)$$\lambda$

$$\frac{\partial Z}{\partial \lambda} = w-(xp_x+yp_y) = 0$$ nous pouvons être assurés de la satisfaction de la contrainte et de la disparition de .$\lambda$

Quant à l' interprétation de (le multiplicateur de Lagrange), en termes économiques généraux, c'est le prix fictif de la ème contrainte. Dans votre configuration, où il n'y a qu'une contrainte budgétaire, le prix fictif est le coût d'opportunité de la contrainte budgétaire, c'est-à-dire l'utilité marginale de l'argent du budget (revenu).$\lambda_i$$i$

Une autre façon de voir les choses est que mesure la sensibilité de aux changements de la contrainte (budgétaire). En fait, on peut prouver que$\lambda$$\Lambda$

$$\frac{d\Lambda^*}{dw}=\lambda^*$$

Notez que pour que cette interprétation de un sens, vous devez toujours exprimer la contrainte en , pas en (comme vous l'avez écrit dans votre configuration). w - ( x p x + y p y ) ( x p x + y p y ) - $\lambda^*$$w-(xp_x+yp_y)$$(xp_x+yp_y)-w$