Stratégie mixte de vente aux enchères tout en équilibre

Je lutte actuellement avec cet exercice. Le professeur Nash annonce qu'il va mettre aux enchères un billet de 20 dollars lors d'un concours entre deux étudiants choisis au hasard. Chaque étudiant doit soumettre en privé une offre sur un morceau de papier; celui qui place l'offre la plus élevée gagne le billet de 20 dollars. En cas d'égalité, chaque élève gagne 10 dollars. La vente aux enchères est tout payant: chaque étudiant doit payer sa candidature, quel que soit le vainqueur de la vente aux enchères.

ICI est la question

Supposons que chaque élève puisse emprunter de l'argent aux autres élèves de la classe, de sorte que chacun d'entre eux dispose d'un total de 11 $ pour soumissionner. Trouver un équilibre de Nash dans ce cas? Je sais que je dois trouver un équilibre de stratégie mixte, mais je ne comprends pas comment je ne peux pas le calculer.

Merci

En réponse à notre politique sur les devoirs , Je vais travailler sur la version abstraite suivante de votre question:

Un seul prix doit être attribué aux enchères tout-payant. Supposons que la valeur du prix est 1 pour les deux soumissionnaires, et cela est de notoriété publique. Les deux soumissionnaires ont une contrainte budgétaire $ m $ . En cas d’égalité des chances, chaque soumissionnaire reçoit le prix avec $ \ frac {1} {2} $ probabilité. Trouvez un équilibre de Nash dans ce jeu.

Nous nous concentrerons sur l’équilibre symétrique dans ce jeu, c’est-à-dire que les deux soumissionnaires utilisent la même stratégie d’équilibre. Avant de commencer, faisons deux observations:

Revendication 1 : Chaque fois qu'il y a un point de masse dans la stratégie d'équilibre (c'est-à-dire qu'il existe une probabilité positive de soumettre une offre), cette masse doit être placée sur la limite supérieure $ m $ . Dans le cas contraire, un soumissionnaire peut toujours s'écarter d'une offre légèrement supérieure et obtenir un excédent supérieur.

Revendication 2 : Chaque fois qu'un enchérisseur choisit de façon aléatoire, l'offre doit être tirée uniformément de $ (0, t) $ , et la probabilité que cela se produise devrait être $ t $ . En effet, dans ce cas uniquement, un enchérisseur est indifférent entre toutes les offres. $ b \ in (0, t) $ : $$ \ text {Résultats attendus} = t \ cdot \ frac {b} {t} \ cdot 1-b = 0. $$

Par conséquent, on peut supposer que la stratégie d’équilibre prend la forme $$ t \ cdot \ text {Uniform} (0, t) + (1-t) \ cdot \ delta_m. $$ C'est-à-dire avec probabilité $ t $ , un soumissionnaire soumet une offre uniformément tirée de $ (0, t) $ , et avec une probabilité complémentaire, elle soumet $ m $ . Il ne reste plus qu'à cerner $ t $ . Notez que s’il s’agit d’une stratégie d’équilibre, un soumissionnaire doit être indifférent entre toutes les offres. $ b \ in (0, t) \ cup \ {m \} $ . Par conséquent, les avantages de la soumission $ m $ devrait également être 0, c'est-à-dire $$ t \ cdot 1+ (1-t) \ cdot \ frac {1} {2} -m = 0, $$ ce qui implique $ t = 2m-1 $ . (Notez que pour l'existence d'un tel équilibre, nous devons avoir 2 millions de dollars & 1 $ .)

Par conséquent, un équilibre de Nash dans ce jeu est que les deux enchérisseurs jouent la stratégie $$ (2m-1) \ cdot \ text {Uniforme} (0,2m-1) + (2-2m) \ cdot \ delta_m. $$

Comment cela renvoie-t-il au problème initial? Je crois que le PO peut le prendre d'ici.