Difficulté dans un problème d'optimisation économique utilisant les conditions de Kuhn-Tucker (difficulté d'interprétation)

J'ai des problèmes pour résoudre correctement le problème suivant:

Une entreprise veut minimiser ses coûts totaux, à condition que les revenus tirés de la vente des quantités de x_1, x_2 $ des deux produits fabriqués dépassent un certain seuil minimum. Sachant que les coûts unitaires de fabrication de chaque bien sont des fonctions linéaires des sorties produites sous la forme $ C_1 = x_1, C_2 = 2x_2 $, que tout ce qui est produit est vendu et que les prix de vente des produits sont: $ p_1 = 1 $ et $ p_2 = 3 $, respectivement. Déterminez les quantités $ x_1, x_2 $ qui minimisent le coût du processus.

Solution:

$ x_1 = 6/11 $

$ x_2 = 9/11 $

$ \ lambda = -12 / 11 $

$ TotalCost (x_1, x_2) = 18/11 $

J'ai essayé de le résoudre de manière classique: en utilisant la fonction Lagrange avec les conditions de Kuhn-Tucker. Cependant, je ne parviens pas à trouver la bonne solution malgré plusieurs tentatives. Je pense que je ne construis pas correctement la fonction Lagrange parce que je ne comprends pas bien le sens économique de ce que le problème veut que je résolve.

Je vous serais donc très reconnaissant de bien vouloir m'aider à comprendre comment trouver la bonne solution pour ce problème spécifique , sachant que clarifier comment construire la fonction Lagrange et ses restrictions est probablement ce dont nous avons besoin ici pour bien comprendre le problème et sa solution.

La façon de le résoudre consiste à le définir comme un problème de maximisation. Voici une brève explication de l'analyse. 1. Formulez le problème initial, avec $ k $ indiquant le seuil de revenu (ou de profit).

2. Exprimez-le comme un problème de maximisation ($ min (f) = - max (-f) $). J'ai également réaffirmé la condition de revenu (ou de profit), bien que cela puisse être finalement inutile (voir ci-dessous).

3. Formule le lagrangien.

4. Obtenez les dérivées partielles du lagrangien.

5. Équatez les dérivés à zéro et résolvez pour $ x_1 $ et $ x_2 $.

6. L'étape précédente mène à $ x_1 = 2x_2 / 3 $.

7. Remplacez $ x_1 $ et $ x_2 $ par la condition de revenu (ou de profit).

8. L'étape précédente mène à $ x_1 $ et $ x_2 $ optimaux.

9. Remplacez $ x_1 $ et $ x_2 $ optimaux dans le problème initial.

Il semble que le problème utilise $ k = 3 $ comme seuil minimum de revenu (ou de profit), puisque ce seuil donne $ TotalCost = 18/11 $, $ x_1 = 6/11 $ et $ x_2 = 9/11 $ .

Je ne sais pas comment donner un sens à λ négatif, mais (positif) 12/11 $ découle de la condition (à l'étape 5) $ 2x_1 = λ $.

Le PO a précisé dans un commentaire que "revenu" signifie ici "revenu" et non "profit" (ce n'est pas toujours le cas), et b) que les multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker fonctionnent parfaitement si nous les définissons comme non positif au lieu de non négatif (ils le font, mais ce n'est pas un fait largement connu).

L’autre terminologie erronée dans l’énoncé du problème est celle de "coût unitaire" - elle signifie en réalité "coût marginal". Nous devons donc obtenir la fonction de coût total à partir de ses dérivées partielles. C'est facile à faire puisque nous voyons que le partiel croisé est zéro.

Donc si

$$ \ frac {\ TC partiel} {\ partiel x_1} = x_1, \; \; \ frac {\ partial TC} {\ partial x_2} = 2x_2 $$

il s'ensuit que

$$ TC = \ frac 12 x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + FC, \; \; \; FC \ geq 0 $$

et nous voulons le minimiser sous la contrainte $ p_1x_1 + p_2x_2 \ geq \ bar R $.

PS: Il semble que le plancher de revenu est de 3 $?