Lequel des axiomes d'Anscombe-Aumann implique le principe Sure-Thing?

Considérons un paramètre Anscombe-Aumann et supposons qu'une relation de préférence respecte tous les axiomes d'origine d'Anscombe-Aumann (rationalité, continuité, indépendance et monotonie).

Si nous limitons notre attention aux courses hippiques pures (c'est-à-dire à des actes sans aucune incertitude objective), le modèle Anscombe-Aumann se résume à une représentation subjective de l'utilité attendue à la savage. Par conséquent, lors de courses hippiques pures, le décideur satisfait tous les axiomes de Savage, notamment le principe Sure-Thing (P2 dans la terminologie de Savage).

Je ne vois pas le lien direct entre les axiomes d'Anscombe-Aumann et le principe Sure-Thing. Est-ce que quelqu'un voit comment le principe Sure-Thing est impliqué dans les axiomes d'Anscombe-Aumann? En particulier, résulte-t-il uniquement de l'indépendance ou faut-il que l'indépendance ET la monotonicité soient requises?

Une première remarque: les axiomes d'Anscombe-Aumann, en particulier l'Indépendance, sont définis par des actes qui amènent l'espace d'état à un espace linéaire (généralement de simples loteries sur des objets de consommation). Même lorsque nous considérons la restriction du modèle à des actes purement subjectifs, nous devons toujours utiliser le modèle complet, sinon nous perdrons des informations.

$S$$X$$\Delta(X)$$X$$f: S \to \Delta(X)$$E \subseteq S$$f_{-E}g$

$$f_{-E}g \begin{cases} f(s) \text{ if } x \in E \\ g(s) \text{ if } x \notin E. \end{cases}$$

$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$$f \succsim g.$

Supposons l'antécédent du STP. De et de l’indépendance, nous avons que Remarquez que nous pouvons réécrire ceci comme et, en appliquant à nouveau l'indépendance, nous obtenons $f_{-E}h \succsim g_{-E}h$

$$\frac12 f_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h \succsim \frac12 g_{-E}h + \frac12 f_{-E^c}h.$$ $$\frac12 f + \frac12 h \succsim \frac12 g_{-E}f + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{1} f \succsim g_{-E}f. \end{equation}$$

De manière analogue, à partir de et de l'indépendance, nous avons De nouveau, nous pouvons réécrire et, en appliquant à nouveau l'indépendance, nous obtenons $f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$\frac12 f_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h \succsim \frac12 g_{-E^c}h + \frac12 g_{-E}h.$$ $$\frac12 g_{-E}f + \frac12 h \succsim \frac12 g + \frac12h$$ $$\begin{equation} \tag{2} g_{-E}f \succsim g. \end{equation}$$

En combinant (1) et (2) via la transitivité, on obtient les relations souhaitées. Pour revenir à la remarque liminaire, notez que pour appliquer l'indépendance, nous devons combiner les actes et faire appel au risque objectif. Ainsi, même lorsque , et ne présentent pas de risque objectif, nous avons toujours besoin d'actes risqués pour servir d'intermédiaire dans la preuve. En un sens, il s’agit là de la grande perspicacité de l’ensemble du cadre des AA: utiliser le risque objectif pour contourner la nécessité d’un espace d’états infini en utilisant la linéarité des attentes pour forcer le STP.$f$$g$$h$

Notez que seules l'indépendance et la transitivité ont été utilisées. Cela devrait indiquer que même l'UE dépendant de l'État (où la monotonie / l'indépendance de l'un des États échoue) ou Bewley EU (où l'intégralité est assouplie) satisfera toujours au STP.

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Modifier en réponse à un commentaire: appelons la notion ci-dessus du principe Sure Thing STP1 et disons que la préférence satisfait STP2 si pour tous les . Ensuite, si est un précommande, il satisfait STP1 si, et seulement si, il satisfait à STP2.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h \iff f_{-E}h' \succsim g_{-E}h'$$f,g,h,h'$$\succsim$

Supposons d’abord que STP2 est valide et que et . Ensuite, par STP2, nous avons La transitivité implique ; STP1 est valable.$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$f_{-E^c}h \succsim g_{-E^c}h$

$$f = f_{-E}f \succsim g_{-E}f \qquad \text{ and } \qquad g_{-E}f = f_{-E^c}g \succsim g.$$ $f \succsim g$

Ensuite, supposons que STP1 soit en attente et que . Définissez et manière analogue. Par définition, notre hypothèse est donc identique à De plus nous avons donc, par la réflexivité de préférence, que Nous pouvons maintenant appliquer STP1 aux (3) et (4) pour obtenir que$f_{-E}h \succsim g_{-E}h$$\hat f = f_{-E}h'$$\hat g$

$$\hat f_{-E}h = f_{-E}h \qquad \text{ and } \qquad \hat g_{-E}h = g_{-E}h,$$ $$\begin{equation} \tag{3} \hat f_{-E}h \succsim \hat g_{-E}h. \end{equation}$$ $\hat f_{-E^c}h = \hat g_{-E^c}h = h'_{-E}h$ $$\begin{equation} \tag{4} \hat f_{-E^c}h \succsim \hat g_{-E^c}h. \end{equation}$$ $\hat f \succsim \hat g$, ce qui, étant donné leur définition, correspond exactement à ce que nous devons montrer pour que STP2 soit valable.