Problème de cavalier libre en théorie des jeux

Supposons une ville construit un pont, et il coûte . Il y a villageois. $B$ $n$

La valorisation du pont par chaque village est une information privée, . $v_i$

Tout le monde sait que cette évaluation est tirée d’une distribution uniforme . . $[0,1]$ $B\in[0,1]$

Villager ne peut soumettre ou . $0$ $B$

Si un villageois soumet , le pont est construit et tous les autres villageois paient leur soumission. $B$

Si aucun pont n'est construit, tout le monde obtient . $0$

Comment puis-je construire un gain attendu d'un village ? $i$

Ce que je suis descendu à 2 scénarios est d' avoir: et . $v_i>B$ $v_i\leq B$

Mais dans chaque cas, j'ai deux avantages possibles. Pour le premier cas,

si tous les autres joueurs soumettent , devrais soumettre B, car . si quelqu'un paie , devrais soumettre 0, car elle obtient . $0$ $i$ $v_i-B>0$
$B$ $i$ $v_i$

Vous obtenez un type similaire de l'autre scénario.

Mais comment intégrer cela dans les bénéfices attendus de et comment devrais-je créer une fonction de protection sociale? $i$

Je pense que ceci n’est qu’une variante des enchères à déboursement total avec un espace d’action discret pour chaque . $i$

game-theory public-goods

— Frank Swanton
source

Est-ce que

une faute de frappe pour

? En outre, la valeur de

une connaissance commune?

v_{i} \leq c

$v_i\le c$

v_{i} \leq B

$v_i\le B$

B

$B$

— Herr K.

Écrire les résultats escomptés est une chose, construire une fonction de bien-être social est une tout autre chose ...

— Herr K.

Oui, je demande aux deux lol. Le coût du pont est de notoriété publique.

— Frank Swanton

Voir ma réponse pour le gain attendu, et un BNE symétrique. Beaucoup plus d'hypothèses sont nécessaires pour la construction d'une fonction de bien-être social (voir Wikipedia pour une discussion détaillée).

— Herr K.

Laissez soit stratégie. Alors l » gain dépend du profil de la stratégie , où . $b_i\in\{0,B\}$ $i$ $i$ $(b_i,b_{-i})$ $b_{-i}=(b_j)_{j\ne i}$

u_{i} (b_{i}, b_{- i}) = {\begin{cases} v_{i} & if b_{i} = 0 and b_{j} = B for some j \neq i \\ 0 & if b_{i} = 0 and b_{j} = 0 for all j \neq i \\ v_{i} - B & if b_{i} = B \end{cases}

$\begin{equation} u_i(b_i,b_{-i})= \begin{cases} v_i&\text{if $b_i=0$ and $b_j=B$ for some $j\ne i$}\\ 0& \text{if $b_i=0$ and $b_j=0$ for all $j\ne i$}\\ v_i-B&\text{if $b_i=B$} \end{cases} \end{equation}$

Ainsi, est la meilleure réponse si $b_i=B$

\begin{matrix} (1) & u_{i} (B, b_{- i}) \geq u_{i} (0, b_{- i}) \Leftrightarrow v_{i} - B \geq (1 - Pr (b_{j} = 0, \forall j \neq i)) v_{i} . \end{matrix}

$\begin{equation} u_i(B,b_{-i})\ge u_i(0,b_{-i}) \quad\Leftrightarrow\quad v_i-B\ge (1-\Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i))v_i.\tag{1} \end{equation}$

Comme le jeu est symétrique ex ante , on peut en outre supposer que chaque adopte une stratégie de seuil, à savoir $i$ oùest une valeur de seuil commune. Ensuite, la probabilité entrepeut s’écrire sous la forme

\begin{matrix} (2) & b_{i} = {\begin{cases} 0 & if v_{i} \leq \bar{v} \\ B & if v_{i} > \bar{v} \end{cases} \end{matrix}

$\begin{equation} b_i=\begin{cases} 0&\text{if $v_i\le\overline v$}\\ B&\text{if $v_i>\overline v$} \end{cases}\tag{2} \end{equation}$

\bar{v}

$\overline v$

(1)

$(1)$

où la dernière égalité est obtenuepartirl'hypothèse que

« s sont iid et

\begin{matrix} (3) & Pr (b_{j} = 0, \forall j \neq i) = Pr (v_{j} \leq \bar{v}, \forall j \neq i) = (\bar{v})^{n - 1}, \end{matrix}

$\begin{equation} \Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i)=\Pr(v_j\le \overline v,\;\forall j\ne i)=(\overline v)^{n-1},\tag{3} \end{equation}$

v_{j}

$v_j$

v_{j} \sim U [0, 1]

$v_j\sim U[0,1]$

En consolidant à , nous pouvons résoudre la valeur de coupure . $(1)$ $(3)$ $\overline v=B^{1/n}$

— Herr K.
source

Herr, merci pour la réponse. Quand vous dites symétrique ex-ante, comment voulez-vous dire? Et aussi, en général, quand on utilise la notion de "symétrie" dans des concepts de solution ou des jeux, comme "jeu symétrique" ou "symétrique de Nash eq'm", que veulent-ils exactement?

— Frank Swanton

i

$i$

j

$j$

(2)

$(2)$

Comment avez-vous obtenu l'IFF dans (1), probabilité RHS?

— Frank Swanton

\leq B

$≤B$

(b_{- i})

$(b_{-i})$