Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour une fonction d’utilité pour les substituts bruts?

Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour une fonction d’utilité pour les substituts bruts? Les substituts bruts sont:

$$   \ frac {dx ^ * _ i} {dp_j} \ ge 0 \ \ \ forall_ {i, j} \ i \ ne j $$

le papier @ Henry mentionné dans les commentaires répond à peu près à cette question. Pour clore et résumer le jist, le papier s'ouvre:

Comme on le sait très bien, le cas dans lequel toutes les demandes excédentaires ont la propriété de substitution brute est un cas dans lequel de très bons résultats peuvent être obtenus concernant l'unicité et la stabilité de l'équilibre général. Considérant combien de temps cela est connu, il est peut-être remarquable que nous ne possédions apparemment pas une caractérisation commode de la classe de fonctions d'utilité qui produisent des fonctions de demande individuelles avec la propriété de substitution brute. ... [Cette] note fournit une caractérisation de toute la classe de fonctions d’utilité ayant la propriété de substitution brute. Étant donné que l’intérêt principal dans cette propriété réside dans l’analyse de l’équilibre général, nous nous intéresserons principalement aux fonctions de la demande découlant des conditions d’échange plutôt qu’à celles qui se présentent lorsque le revenu est fixe, indépendamment des prix. L'extension des résultats à ce dernier cas étant indiquée à la fin du document.

Le principal résultat est, sur un marché des changes, pour toute dotation initiale (cotation directe):

Une condition nécessaire et suffisante pour que $ U (x) $ soit GS est que pour chaque $ i, j = 1, ..., n, j \ ne i $, un revenu positif $ Y $ et un vecteur de prix strictement positif $ p $:

$$   \ eta_ {ij} & gt; max. $$

Où:

• $ e_i $ est l'élasticité-revenu du i-ème marchandise, $ \ frac {\ partiel x_i} {\ partiel Y} / \ frac {Y} {x_i} $.
• $ \ alpha_i $ est la proportion des dépenses consacrées à la i-ème marchandise, $ \ alpha_i = \ frac {p_ix_i} {Y} $.
• $ \ eta_ {ij} $ est l'élasticité de substitution i-ème à j-th du genre dit "Allen-Uzara" (quoi que ce soit - voir papier).

Il y a des corollaires.

La principale complication de tout cela est vous avoir prendre en considération le revenu ou plutôt l’élasticité du revenu. Quelques grandes classes de fonctions d’utilité qui sont suffisant pour GS indépendamment, ne sont que très brièvement mentionnés dans l'intro du papier.