Comportement du consommateur avec demande limitée

Supposons qu'il existe une fonction de demande linéaire décrivant la demande d'un consommateur individuel. Ceci est dérivé d'une fonction d'utilité ou est simplement observé, mais supposons que c'est correct. Supposons maintenant que le produit est disponible au prix , mais le magasin insiste sur le fait que chaque consommateur achète un montant minimum qui est en fait supérieur à , mais seulement par très peu. Dites que c'est , où . $D(p)$ $p$ $D(p)$
$D(p) + \epsilon$ $\epsilon < D(p)/100$

Puis-je dire sans autres hypothèses que, compte tenu des options d'achat d'une quantité où , le consommateur choisir d'acheter ? $q$ $q \in \left\{0\right\} \bigcup \left[D(p) + \epsilon,\infty\right)$ $D(p) + \epsilon$

Mon argument est que cela maximisera son surplus de consommateur compte tenu de la contrainte sur . Comme je l’ai précisé, c’est une fonction de demande linéaire et vous pouvez faire le calcul, mais il est facile de voir que l’excédent sera positif pour toute fonction de demande continue, avec un suffisamment petit . $q$ $\epsilon < D(p)/100$ $\epsilon$

Est-ce une argumentation acceptée?

Dans la plupart des modèles, il est admis que les consommateurs cherchent à maximiser leur utilité. Je ne suis toutefois pas sûr, si on peut soutenir en l'absence d'une fonction d'utilité, que l'objectif est de maximiser les excédents.
Une solution de contournement consisterait à spécifier une fonction d’utilité quasi-linéaire prenant en charge mais j’aimerais éviter cela si possible. $D(p)$

microeconomics consumer-theory consumer-surplus

— Giskard
source

L’objectif du consommateur n’est pas clair: max u (.) Ou CS. Si max u (.), Je peux penser qu’il est possible que le consommateur trouve qu’il achète 0 quantité la rendant meilleure. Considérons l'industrie du transport aérien. Supposons que vous soyez une personne en classe économique mais que votre compagnie aérienne insiste sur le fait que vous achetez un siège en classe économique + plus, qui coûte 125 dollars de plus. Si vous êtes un maximiseur d’utilité et que vous trouvez dégoûtant que la compagnie aérienne vous exploite en vous obligeant à disposer de plus de place pour les jambes lorsque vous n’en avez pas besoin, vous risquez d’être encore pire en achetant le e-plus tix.

— Frank Swanton

Maintenant, si vous achetez 0 tix, vous ne pouvez pas aller où vous voulez, vous risquez donc d’être bien pire, alors dans ce cas, vous pourriez être obligé d’acheter un montant strictement positif de toute façon.

— Frank Swanton

Mais si elle a un autre moyen de transport, acheter 0 e-plus tix contraint au lieu de louer une voiture ou un train ou d’attendre un autre jour (réservation de date flexible) peut rapporter plus.

— Frank Swanton

Quant à savoir si un exemple similaire maximise son CS, elle suivrait un raisonnement similaire. Comment définissez-vous max CS? Faire le fossé entre le désir de payer et ce que vous payez réellement le plus gros? Ensuite, en supposant que vous ayez à voyager en avion, sous votre q contrainte, dans mon exemple, les problèmes CS et u-max donneraient la quantité minimale possible optimale optimale.

— Frank Swanton

@ FrankSwanton J'aime votre commentaire sur le transport de substitution, mais je ne suis pas sûr que cette information ne soit pas déjà représentée dans la fonction de la demande. Par exemple, s'il existe des sous-sites, la fonction de la demande sera beaucoup plus sensible au prix que s'il n'en existait pas. Si vous pouvez rédiger une réponse rigoureuse (basée sur des exemples numériques), où tout est donné, la fonction de demande est vraiment juste une fonction de prix et pourtant, le choix contraint optimal n'est en quelque sorte pas mon je serais heureux de le faire. Acceptez.

D (p) + ϵ

$D(p) + \epsilon$

— Giskard

Réponses:

Dans un espace à deux bons, le consommateur maximise initialement et nous supposons qu’il obtient la solution en fonction des prix et des revenus. $U(x,z)\;\; s.t. \;\;p_xx+p_zz =I$ $(x^*, z^*)$

Dans le cas contraint, le consommateur choisira ou ), pour certains épuisant toujours son budget, donc en particulier, . Pour que le consommateur puisse toujours choisir d’acheter une quantité strictement positive de , il faut que $(0, \tilde z)$ $(x^*+\epsilon, z'$ $\epsilon >0$ $\tilde z = I/p_z$ $x$

U (x^{*} + ϵ, z^{'}) > U (0, \tilde{z})

$U(x^*+\epsilon, z') > U(0, \tilde z)$

Appliquez une approximation du premier ordre autour de sans ignorer les restes, nous voulons $(x^*, z^*)$

\begin{aligned} U (x^{*}, z^{*}) + U_{x} (x^{*}) \cdot ϵ + U_{z} (z^{*}) (z^{'} - z^{*}) + R_{ϵ} \\ > U (x^{*}, z^{*}) + U_{x} (x^{*}) (- x^{*}) + U_{z} (z^{*}) (\tilde{z} - z^{*}) + R_{0} \end{aligned}

$\begin{align} U(x^*, z^*) + U_x(x^*)\cdot \epsilon + U_z(z^*)(z'-z^*) + R_{\epsilon} &\\> U(x^*, z^*) + U_x(x^*)(-x^*) + U_z(z^*)(\tilde z-z^*) + R_0 \end{align}$

Simplifier et réorganiser, nous voulons

U_{x} (x^{*}) (x^{*} + ϵ) + R_{ϵ} > U_{z} (z^{*}) (\tilde{z} - z^{'}) + R_{0}

$U_x(x^*)(x^*+\epsilon) + R_{\epsilon} > U_z(z^*)(\tilde z-z') + R_0$

Nous savons que de l'optimisation sans contrainte, so $U_x(x^*)/U_z(z^*) = p_x/p_z$

\frac{p_{x}}{p_{z}} (x^{*} + ϵ) + \frac{R_{ϵ}}{U_{z} (z^{*})} > (\frac{I}{p_{z}} - z^{'}) + \frac{R_{0}}{U_{z} (z^{*})}

$\frac {p_x}{p_z}(x^*+\epsilon) + \frac {R_{\epsilon}}{U_z(z^*)} > \left(\frac{I}{p_z}-z'\right) + \frac {R_0}{U_z(z^*)}$

Multiplier tout au long par , $p_z$

p_{x} (x^{*} + ϵ) + p_{z} \frac{R_{ϵ}}{U_{z} (z^{*})} > I - p_{z} z^{'} + p_{z} \frac{R_{0}}{U_{z} (z^{*})}

$p_x(x^*+\epsilon) + p_z\frac {R_{\epsilon}}{U_z(z^*)} > I - p_zz' + p_z\frac {R_0}{U_z(z^*)}$

mais donc il nous reste l'exigence que (en ignorant les termes positifs) $p_x(x^*+\epsilon) + p_zz' = I \implies p_x(x^*+\epsilon) = I-p_zz'$

R_{ϵ} > R_{0}

$R_{\epsilon} > R_0$

afin que le consommateur choisisse et non pour . $x^*+ \epsilon$ $0$ $x$

Notez que ce qui précède prend également en compte les signes des restes, il ne s'agit pas seulement de leur magnitude absolue.

Revenons maintenant à nos extensions de premier ordre. Nous savons que les deux bundles candidats donnent des utilités inférieures à , car ils étaient réalisables dans le cas non contraint et qu'ils n'ont pas été choisis. $U(x^*, z^*)$

En regardant le développement de nous concluons que nous avons $U(0, \tilde z)$

U_{x} (x^{*}) (- x^{*}) + U_{z} (z^{*}) (\tilde{z} - z^{*}) + R_{0} < 0

$U_x(x^*)(-x^*) + U_z(z^*)(\tilde z-z^*) + R_0 < 0$

⟹ U_{z} (z^{*}) \cdot [(U_{x} (x^{*}) / U_{z} (z^{*})) \cdot (- x^{*}) + \tilde{z} - z^{*}] + R_{0} < 0

$\implies U_z(z^*)\cdot \Big[(U_x(x^*)/U_z(z^*))\cdot(-x^*) + \tilde z-z^*\Big] + R_0 < 0$

⟹ \frac{U_{z} (z^{*})}{p_{z}} \cdot [- p_{x} x^{*} + p_{z} \tilde{z} - p_{z} z^{*}] + R_{0} < 0

$\implies \frac {U_z(z^*)}{p_z}\cdot \Big[-p_xx^* + p_z\tilde z-p_zz^*\Big] + R_0 < 0$

Mais et , le terme entre parenthèses est donc zéro. Nous concluons donc que $-p_xx^* -p_zz^* = -I$ $p_z\tilde z =I$

R_{0} < 0

$R_0 <0$

En regardant maintenant l’expansion de , nous savons que nous avons $U(x^*+\epsilon, z')$

U_{x} (x^{*}) \cdot ϵ + U_{z} (z^{*}) (z^{'} - z^{*}) + R_{ϵ} < 0

$U_x(x^*)\cdot \epsilon + U_z(z^*)(z'-z^*) + R_{\epsilon} < 0$

Effectuer les mêmes manipulations qu'avant, nous obtenons ici aussi que

R_{ϵ} < 0

$R_{\epsilon} < 0$

La condition d’achat de peut donc être réécrite comme suit: $x^*+\epsilon$

| R_{ϵ} | < | R_{0} |

$|R_{\epsilon}| < |R_0|$

Ceci formalise quelque peu l'idée que si est "suffisamment petit", sera plus petit en valeur absolue que , puisque l'approximation à la même fonction sera "meilleure", et nous observerons donc et non . Mais cela nous indique également ce que les graphiques de l'autre réponse nous ont également dit, à savoir qu'il n'y a pas une seule réponse générale à la question. $\epsilon$ $R_{\epsilon}$ $R_0$ $x^*+\epsilon$ $0$

— Alecos Papadopoulos
source

Très belle promenade à travers, merci. Il y a un léger mal où vous supposez que le taux marginal de substitution existe dans mais qu'il n'est pas essentiel. Il semble que ma question initiale soit tombée à deux morceaux cependant. Cela a montré que la maximisation de l’utilité rend la solution optimale, si est suffisamment petit. Ce que j'aimerais vraiment savoir, c'est si je peux faire la même chose s'il n'y a pas de fonction d'utilité explicite, seulement une fonction de demande. (Dans le cas d'une fonction de demande linéaire, la limite supérieure des valeurs acceptables de serait probablement .)

(x^{*}, z^{*})

$(x^*,z^*)$

x^{*} + ϵ

$x^* + \epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

x^{*}

$x^*$

— Giskard

Inutile de répondre à la partie 2 ici, je vais essayer de la clarifier et de la republier.

— Giskard

Il semble que le consommateur soit confronté à une contrainte supplémentaire exogène dans son problème d’optimisation, qui limite l’ensemble réalisable pour le bien en question, par exemple . Nous prenons cela pour acquis: le consommateur achètera zéro ou au moins ce que le magasin demande au minimum, disons . Aucune autre option n'est disponible. Mais cela signifie que le consommateur doit résoudre à nouveau son problème d'optimisation en incorporant cette contrainte supplémentaire et son effet sur l'ensemble réalisable - la fonction de demande "initiale" n'est plus pertinente, car elle représente une solution à un problème qui vient d'être modifié. $x$ $\bar x$

Quel sera le résultat?

En supposant que les préférences "habituelles", laissez un utilitaire deux bonnes fonctions . puis, graphiquement, $U(x, z)$

Le choix d'acheter zéro enverra le consommateur à un niveau de service encore plus bas que celui qui lui est imposé par la quantité minimale requise.

EDIT by denesp: Mais qu'en est-il de ce graphique?

RÉPONSE: Cela nous dit ce à quoi nous devons nous attendre après tout: plus la quantité demandée dans la solution non contrainte est petite, plus la distance entre cette quantité et la quantité minimale requise par le magasin est grande, plus il est possible que le consommateur choisisse pour acheter zéro à la fin. Il semble donc qu'il n'y ait pas de réponse unique à la question générale, même dans les préférences "habituelles". Intuitivement, bien sûr, si la distance est "très petite" et que la solution non contrainte n'est pas "très petite" au départ, nous nous attendons à ce que les préférences habituelles conduisent le consommateur à acheter plus que ce dont le magasin a besoin.

Peut-être que tout cela pourrait être transformé en une description rigoureuse exploitant les longueurs mesurées sur la contrainte budgétaire entre le bundle zéro et la solution sans contrainte, et entre la solution sans contrainte et la quantité minimale requise par le magasin.

— Alecos Papadopoulos
source

Je mentionne ne pas vouloir faire deux fois le trajet utilitaire dans ma question. La question est à peu près "cette information est-elle incluse uniquement dans la fonction de demande"? Vous dites "cela signifie que le consommateur doit résoudre à nouveau son problème d'optimisation". Pourquoi? C'est ce que j'aimerais savoir. n'est-il pas déjà une fonction de solution du problème d'optimisation convexe sans contrainte?

D (p)

$D(p)$

— Giskard

Malheureusement, même en admettant des fonctions d’utilité, le graphique ne prouve rien. Je peux facilement en dessiner un autre où les conditions usuelles sur les préférences sont remplies mais les pentes des courbes d'indifférence sont manipulées de telle manière que devienne le choix contraint optimal.

(0, z)

$(0,z)$

— Giskard

@denesp En ce qui concerne le premier commentaire, puisque le surplus du consommateur que vous examinez est basé sur une fonction de demande qui ne tient plus, qu'est-ce qui vous fait penser que vous pourriez vous en sortir sans revenir sur le problème de la maximisation? Je l'ai dit dans ma réponse. En ce qui concerne le deuxième commentaire, probablement, mais il dépasse mes capacités de visualisation. J'aimerais donc voir ce graphique et le type de préférences qu’il reflétera.

— Alecos Papadopoulos

@denesp Sous la nouvelle contrainte, la solution sans contrainte n'est plus possible, le problème doit donc être résolu, vous ne pensez pas?

— Alecos Papadopoulos

@denesp Je n'ai pas posté ma réponse et le graphique comme preuve de votre conjecture, mais il semble que cela ressemble à ça ... Je vais laisser cette réponse telle quelle et en poster une autre avec un traitement rigoureux.

— Alecos Papadopoulos