Preuve du théorème de l'utilitaire vNM attendu

Mon professeur de théorie de la décision m'a demandé de me référer aux Notes sur la théorie du choix de David M. Kreps pour prouver le théorème de l'utilité attendue du NMM. Avant que la preuve du théorème ne commence réellement, il y a deux lemmes énoncés qui sont utilisés dans la preuve du théorème. Je suis incapable de comprendre la preuve d'une partie d'un des lemmes. Plus précisément, la preuve pour la partie (c) du lemme ci-dessous. Je comprends l'intuition qui se cache derrière. Il s’agit essentiellement de l’axiome de l’indépendance mais avec une relation d’équivalence, mais je n’ai pas la preuve du tout. Toute aide est beaucoup appréciée.

Et ceci est la preuve pour la partie (c). Lorsque l'auteur parle d'appliquer (5.2), il fait référence à l'axiome d'indépendance et lorsqu'il parle d'appliquer (5.3), il fait référence à l'axiome d'archémée ou de continuité.

Écrivons \ begin {align}   x & ap; (1-a) r \\   y & amp; = aq + (1-a) r \ end {align} Vous voulez montrer que $ x \ sim y $. Mais \ begin {equation} x \ sim y \ quad \ Leftrightarrow \ quad x \ not \ succ y \; \ text {et} \; y \ not \ succ x. \ end {equation} Donc, la preuve donnée essaye d'établir que $ x \ not \ succ y $ (et de la même manière, $ y \ not \ succ x $) est vrai.

Pour montrer cela, utilisez la preuve par contradiction. Supposons que le contraire soit vrai: $ x \ succ y $, et essayez de dériver une contradiction. C'est ce que fait la preuve donnée.