Les monopoles ne sont qu'un malentendu mathématique

Un petit coup de tête (et un bon exemple pourquoi nous devrions faire attention à la notation).

Considérez un monopole de maximisation des profits, qui résout le prix

$$\max \pi = PQ(P) - C(Q(P)) \tag{1}$$

Suivre les étapes de routine ( voir cet article )

nous arrivons au résultat important que, au prix de maximisation du profit, l'élasticité-prix de la demande devrait être supérieure à en termes absolus, ou inférieure à en termes algébriques. À savoir au prix de maximisation du profit que nous avons- $1$$-1$

$$\eta^* = \frac {\partial Q }{ \partial P}\cdot \frac {P}{Q} <-1 \Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P <-Q$$

$$\Rightarrow \frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q <0 \tag{2}$$

Mais est la dérivée de et , Total Revenue. Donc , revenu marginal et nous venons d'obtenir qu'au prix maximisant le profit et afin d'avoir une élasticité supérieure à en termes absolus, nous devons avoir .PQ(P)PQ(P)=TR∂$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q$$PQ(P)$$PQ(P) = TR$1MR∗<$\frac {\partial Q }{ \partial P}P +Q = MR$$1$$MR^* <0$

Mais nous avons aussi maintenant qu'au point de maximisation du profit, nous avons .$MR^*=MC^*>0$

Il n'existe donc pas de solution et nous concluons donc que les monopoles ne sont qu'un malentendu mathématique.

Maintenant, je me suis donné la peine (?) D'écrire ce post ricanant, j'espère que quelqu'un ira dans les quelques dizaines de secondes nécessaires pour écrire une réponse claire pour indiquer où se situe l'astuce.

$PQ(P)=TR$ , revenu total.

PQ(P)P$\frac{∂Q}{∂P}P+Q$ est la dérivée de par rapport à .$PQ(P)$ $P$

T R Q$MR$ , marginale du revenu, est la dérivée de par rapport à .$TR$ $Q$

Donc en général$\frac{∂Q}{∂P}P+Q \neq MR$

Pour compléter la réponse directe à @AdamBailey, le but de cet article était d'alerter les lecteurs intéressés sur les conséquences du changement des variables de décision dans notre réflexion.

Nous sommes habitués à considérer la demande comme un "prix dépendant de la quantité" ou une "quantité dépendant du prix". Mais du côté du coût de production, nous avons automatiquement tendance à penser au coût en fonction de la quantité et non du prix de vente.

$TR$$MR$$MC$

$$\max \pi = TR[Q(P)] - C[Q(P)]$$

nous indiquerions clairement que notre variable de décision ultime est le prix, et ainsi

$$f.o.c: \;\;\;MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} - MC(Q)\frac {\partial Q}{\partial P} =0$$

$$\implies (MR(Q) - MC(Q))\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} =0 \implies MR(Q) = MC(Q)$$

alors que nous verrions aussi clairement que

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} = \frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q$$

et de sorte que l'exigence de l'élasticité-prix de la demande conduit à

$$\frac {\partial TR}{\partial P} = MR(P) = Q\frac {\partial Q}{\partial P}Q + Q < 0 \implies MR(Q)\cdot \frac {\partial Q}{\partial P} < 0 \implies MR(Q) >0$$

$\frac {\partial Q}{\partial P} <0$