La relation entre la fonction de dépense et bien d'autres!

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Je ne comprends pas les relations entre la demande hicksienne, la demande walrasienne (marshallien), la fonction de dépense et la fonction d'utilité indirecte (y compris la fonction de valeur V (b)). J'ai trouvé ce sujet très difficile et je ne peux pas comprendre comment ils se rapportent les uns aux autres en raison de la formalité utilisée dans les livres dont je dispose!

Je comprends comment dériver l'utilité indirecte, cependant, je dois être à l'aise pour montrer comment je peux l'utiliser pour dériver la fonction de dépense et le reste et comment ils diffèrent dans les dualités!

microeconomics consumer-theory utility

— Arie
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Dans le prolongement de l'excellent diagramme MWG de la réponse d'Amstell, l'observation fondamentale requise est que le maintien de fixe, et sont inverses l'un de l'autre . nous indique le montant que nous devons dépenser pour obtenir une certaine quantité d'utilité , tandis que nous indique la quantité maximale d'utilité que nous pouvons obtenir d'une certaine dépense . Chaque fois que nous voulons passer de l'utilité à la richesse, nous utilisons ; et chaque fois que nous voulons convertir la richesse en utilité, nous utilisons . $p$ $e$ $v$ $e$ $u$ $v$ $w$ $e$ $v$

Toutes les identités clés peuvent être dérivées de cette observation. Par exemple, supposons que nous voulons dériver une identité pour . Nous connaissons déjà l'identité correspondante pour la fonction de dépense, . Pour transformer cela en une identité pour , nous substituons $\partial v(p,w)/\partial p_i$ $\partial e(p,u)/\partial p_i=h_i(p,u)$ $v$ $w=e(p,u)$ , obtenant , et différencier par rapport à . La règle de chaîne implique $v(p,e(p,u))=u$ $p_i$ qui, si l'on divise pardeux côtés, devient l'identité de Roy.

\frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial v (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = 0 ⟺ \frac{\partial v (p, w)}{\partial p_{i}} = - \frac{\partial v (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial v(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} =0\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial v(p,w)}{\partial p_i} = -\frac{\partial v(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

- \partial v / \partial w

$-\partial v/\partial w$

Ou, supposons que nous voulons dériver l'équation de Slutsky, qui donne la relation entre les dérivés de la demande marshallienne et hicksienne (décomposer un changement de la demande marshallienne en effets de substitution et de revenu). De la même manière que ci-dessus, nous pouvons substituer à la demande marshallienne pour obtenir . Ensuite, différenciant par rapport à $w=e(p,u)$ $x(p,w)$ $x(p,e(p,u))=h(p,u)$ deux côtés et l'application de la règle de chaîne donne $p_i$ En général, je pense que l'heuristique "basculer entreetselon les besoins en utilisantet" vous permet d'obtenir à peu près tout ici. (Une heuristique similaire est également utile si vous traitez avec des systèmes de demande de Frisch, où l'utilité marginalejoue le même rôle queetdans les systèmes de demande marshallien et hicksien.)

\frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial p_{i}} + \frac{\partial x (p, e (p, u))}{\partial w} \cdot \frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} ⟺ \frac{\partial x (p, w)}{\partial p_{i}} = \frac{\partial h (p, u)}{\partial p_{i}} - \frac{\partial x (p, w)}{\partial w} \cdot x_{i} (p, w)

$\frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x(p,e(p,u))}{\partial w}\cdot \frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = \frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i}\\ \Longleftrightarrow \frac{\partial x(p,w)}{\partial p_i}=\frac{\partial h(p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x(p,w)}{\partial w}\cdot x_i(p,w)$

w

$w$

u

$u$

v

$v$

e

$e$

λ

$\lambda$

w

$w$

u

$u$

$\partial e(p,u)/\partial p_i = h_i(p,u)$ $w=e(p,u)$ $\partial e(p,u)/\partial p_i = x_i(p,w)$ théorème de l'enveloppe .

$\partial v/\partial p_i$ $p_i$ $\partial v/\partial w$ $\partial v/\partial p_i$ $\partial e/\partial p_i$

— nominalement rigide
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Je ne sais pas combien cela aidera, mais le diagramme de Mas-Colell p.75 est quelque chose que j'ai toujours à l'esprit lors de la dérivation de ces fonctions. Je ne sais pas quels livres vous utilisez, mais Microeconomics par Mas-Colell et al. est la ressource incontournable pour les diplômés. Mais je préfère l'analyse microéconomique par Varian. Beaucoup plus facile à lire et a toujours le contenu important nécessaire pour le travail de niveau supérieur. D'après mon expérience, dériver autant d'exigences walrasiennes que possible et simplement travailler le processus est ce qui m'a mis à l'aise avec la compréhension. Si vous cherchez des exemples, je peux appliquer quelques formules pour vous montrer comment cela fonctionne, mais vous semblez comprendre cela. J'ai également des pages et des pages de problèmes de pratique si vous avez également besoin d'une autre ressource. J'espère que cela t'aides :)

Microéconomie: Mas-Colell

Mise à jour: Voici quelques problèmes pratiques de certains de mes ensembles de problèmes. Attention au dernier. Prendre plaisir

Si possible, calculez Hicksian, Walrasian, Expenditure et Indirect pour chacun des éléments suivants:

$e(p,u) = (p_{1} + p_{2})u$
$e(p,u) = p_{1} +p_{2} + up_{1}$
$h(p,u) = ( \frac{up_{2}}{p_{1}} , \frac{up_{1}}{p_{2}})$
$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

Éditer ; Mise à jour pour expliquer # 4

$x(p,w) = ( \frac{w}{p_{1}} , \frac{w}{p_{2}} )$

$(x_{1}, x_{2})$

$p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2} = w$

L'une des propriétés de la demande walrasienne est la loi de Walras.

$px = w$

Un moyen simple de montrer que la loi de Walras ne tient pas est de simplement brancher les exigences de la contrainte de revenu.

$p_{1} ( \frac{w}{p_{1}}) + p_{2} ( \frac{w}{p_{2}}) = w$

$2w \neq w$

— Amstell
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