La main-d'œuvre optimale est-elle nulle lorsque (i) le capital est fixé et (ii) l'élasticité de substitution est inférieure à 1?

Je reçois des "résultats étranges". Je trouve que dans un CES, avec un capital fixe à court terme et une élasticité de substitution inférieure à un, il est optimal pour les entreprises d’embaucher zéro main-d’œuvre, ce qui semble aller à l’encontre de l’idée que le produit marginal du travail est toujours positif (sauf dans les cas extrême de Leontief, où ). $\rho = -\infty$

Supposons une fonction de production CES simple:

Y = A {(α L^{ρ} + (1 - α) K^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$Y = A\left( \alpha L^{\rho} + (1-\alpha)K^{\rho} \right)^{\frac{1}{\rho}}$

On suppose que le capital est fixé à court terme, de sorte que l'entreprise optimise seulement sur . De manière importante, l’entreprise doit quand même payer le coût du capital . Par conséquent, tant que , l’entreprise a toujours intérêt à produire quelque chose. La question clé est donc de savoir combien de travail engager. $L$ $p>0$

Sur des marchés concurrentiels, le travail optimal provient:

\frac{\partial Y}{\partial L} \equiv α A^{ρ} {(\frac{Y^{*}}{L^{*}})}^{1 - ρ} = (\frac{w}{p})

$\begin{equation} \frac{\partial Y}{\partial L} \equiv \alpha A^{\rho} \left(\frac{Y^*}{L^*}\right)^{1-\rho} = \left(\frac{w}{p}\right) \end{equation}$

Il est important de noter que MPL est (i) toujours positif , (ii) pour (y compris les valeurs négatives) et , c'est l'infini! . En d'autres termes, chaque fois qu'il existe une substitution imparfaite de facteurs et que le taux de salaire est non infini, vous voulez produire avec un peu de travail . $\rho<1$ $L^*=0$

Remplacer la sortie par ce qui précède donne une seule équation avec une seule inconnue ( ), laquelle solution est la suivante: $L_i^*$

L^{*} = K Ω^{\frac{1}{ρ}}

$L^* = K \Omega^{\frac{1}{\rho}}$

où

Ω = (\frac{(1 - α)}{{(\frac{w}{A p α})}^{\frac{ρ}{1 - ρ}} - α})

$\Omega = \left(\dfrac{(1-\alpha)}{\left(\frac{w}{A p \alpha}\right)^{\frac{\rho}{1-\rho}}-\alpha}\right)$

Maintenant, ignorez les paramétrages où . Ce sont des solutions de coin où . $\Omega<0$ $L^*=0$

Jusqu'ici tout va bien. Sauf pour un résultat étrange lorsque . Pour ce faire, remplaçons le travail optimal par la fonction de production. Après quelques réarrangements, vous obtenez: $\rho<0$

Y^{*} = A K {(α Ω + (1 - α))}^{\frac{1}{ρ}}

$Y^* = AK\left(\alpha\Omega + (1-\alpha)\right)^{\frac{1}{\rho}}$

$Y_0$

Y_{0} = A K (1 - α)^{\frac{1}{ρ}}

$Y_0 = AK(1-\alpha)^{\frac{1}{\rho}}$

Maintenant, nous voulons savoir en vertu de quel paramétrage l'entreprise a intérêt à produire sans main-d'œuvre . Les bénéfices avec travail optimal et avec travail nul sont respectivement:

π = p Y^{*} - r K - w L^{*}

$\pi = pY^* - rK - wL^*$

π_{0} = p Y_{0} - r K

$\pi_0 = pY_0 - rK$

$\pi_0> \pi$

w L^{*} > p (Y - Y_{0})

$wL^* > p(Y-Y_0)$

$L^*=0$ $\rho<0$ $Y-Y_0$

$\Delta Y=Y-Y_0<0$

A K [{(α Ω + (1 - α))}^{\frac{1}{ρ}} - (1 - α)^{\frac{1}{ρ}}] < 0

$AK\left[\left( \alpha \Omega + (1-\alpha)\right)^{\frac{1}{\rho}} - (1-\alpha)^{\frac{1}{\rho}} \right] <0$

{(α Ω + (1 - α))}^{\frac{1}{ρ}} < (1 - α)^{\frac{1}{ρ}}

$\left( \alpha \Omega + (1-\alpha)\right)^{\frac{1}{\rho}} < (1-\alpha)^{\frac{1}{\rho}}$

$\rho<0$

\frac{1}{(α Ω + (1 - α))} < \frac{1}{1 - α}

$\frac{1}{\left( \alpha \Omega + (1-\alpha)\right)} < \frac{1}{1-\alpha}$

Ce qui est clairement vrai pour:

0 < α Ω

$0< \alpha\Omega$

$\Omega>0$ $Y-Y_0<0$

J'ai confirmé cela dans R. Le code suivant produit un delta en sortie = -15:

rm(list=ls())

rho       <- -0.5
alpha     <- .6
A <- 1
p <- 1
w <- 0.7

K <- 2.756729
omega = (1-alpha)/((w/(alpha*A*p))^(rho/(1-rho))-alpha)
L = K*omega^(1/rho)

ll = alpha*L^rho
kk = (1-alpha)*K^rho
tr = (1/rho)
Y = A*(ll+kk)^tr
Y0 = A*(kk)^tr

delta_output = Y-Y0

delta_profits = p*(Y-Y0)-w*L

$\rho$

$x=\infty$ $L^*=0$

microeconomics elasticity-of-substituion

— luchonacho
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Réponses:

$Y_0$ $\rho>0$

Y_{_{L = 0}} = A K (1 - α)^{\frac{1}{ρ}}

$Y_{_{L=0}} = AK(1-\alpha)^{\frac{1}{\rho}}$

$\rho<0$ $Y$

Y = A L {(α + (1 - α) {(\frac{L}{K})}^{- ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$Y = AL\left(\alpha + (1-\alpha)\left(\frac{L}{K}\right)^{-\rho} \right)^{\frac{1}{\rho}}$

Ensuite, il est trivial de voir que:

lim_{L \to 0} Y = A 0 α^{\frac{1}{ρ}} = 0

$\lim_{L\rightarrow 0} Y = A0 \: \alpha^{\frac{1}{\rho}} = 0$

Avec cela, nous pouvons voir que . Cela résout l'incohérence. $\Delta Y = Y > 0$

PS: il se trouve que le produit marginal du travail à n’est pas l’infini $L=0$ . Apparemment, les conditions Inada ne sont pas valables pour CES avec $ \ rho <0. En réalité, le produit marginal du travail semble être nul! (voir la diapositive 15 ici ). C'est une révélation majeure pour moi.

— luchonacho
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Partant de

Y = A {(α L^{ρ} + (1 - α) K^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

$Y = A\left( \alpha L^{\rho} + (1-\alpha)K^{\rho} \right)^{\frac{1}{\rho}}$

. . . ⟹ M P_{L} = α A \cdot {(α + (1 - α) {(\frac{K}{L})}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ} - 1}

$...\implies MP_L = \alpha A\cdot\left( \alpha + (1-\alpha)\left(\frac {K}{L}\right)^{\rho} \right)^{\frac{1}{\rho}-1}$

supposons que (ce qui donne une élasticité de substitution inférieure à l'unité). Ensuite, nous pouvons écrire $\rho <0$

M P_{L} = \frac{A}{{(α + (1 - α) {(\frac{L}{K})}^{| ρ |})}^{\frac{1}{| ρ |} + 1}}

$MP_L = \frac A {\left( \alpha + (1-\alpha)\left(\frac {L}{K}\right)^{|\rho|} \right)^{\frac{1}{|\rho|}+1}}$

Alors

L \to 0 ⟹ M P_{L} \to \frac{A}{α^{\frac{1}{| ρ |} + 1}} > 0

$L\to 0 \implies MP_L \to \frac A { \alpha ^{\frac{1}{|\rho|}+1}} >0$

bien que pas infini.

— Alecos Papadopoulos
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Merci. Les maths ont eu le même résultat (voir ici ). Cependant, ils trouvent également que est aussi une solution, ce qui correspond à la diapositive 15 mentionnée dans ma réponse. Avez-vous une idée de la façon dont cela concorde avec votre réponse? Quoi qu’il en soit, il est intéressant d’apprendre que les conditions Inada ne s’appliquent pas au CES général non-Cobb-Douglas!

M P_{L} = 0

$MP_L=0$

— luchonacho

@luchonacho "Solution" à quoi? "Solution" dans quel sens? Nous passons de la fonction à la dérivée et calculons la limite de cette dernière. La limite est unique, il n'y a donc pas d'autre "solution". Qu'est-ce que je rate?

— Alecos Papadopoulos

En ce sens que . Donc, comme , . Donc, vous vous retrouvez avec une expression non définie, où vous pouvez appliquer l’Hôpital. Selon le post que j'ai mentionné, une solution de cette "boucle infinie de L'Hopital" est que . Puisque la fonction est du type décrit dans cette question, je ne vois pas pourquoi la deuxième solution ne s'applique pas, même si cela n'apparaît pas dans votre preuve particulière.

M P_{L} = α {(\frac{Y}{L})}^{1 - ρ}

$MP_L = \alpha \left(\frac{Y}{L}\right)^{1-\rho}$

L \to 0

$L \rightarrow 0$

Y

$Y$

f^{'} (0) = 0

$f'(0)=0$

f (x) = Y

$f(x)=Y$

— luchonacho

L'hopital peut apporter une solution. Dans notre cas, puisque le calcul direct de la limite nous donne une réponse définitive, nous concluons que l’éventuelle autre solution ne s’applique tout simplement pas.

— Alecos Papadopoulos

Intéressant. Donc, vous dites essentiellement que l’utilisation d’une méthode indirecte ajoute une solution possible. Ou peut-être plus déroutant, même si j'ai deux problèmes généraux à résoudre, un problème spécifique, appartenant à la famille du problème général, pourrait n'avoir qu'une seule solution. Une intuition derrière cela? Cela semble être un résultat extraordinaire.

— luchonacho