Est-il possible de dériver des courbes d'indifférence étant donné la fonction de demande marshallienne?

Dans un monde à deux bons, une demande marshallienne fonctionnera-t-elle comme D(p,m)où p est le prix d'un bien et m le revenu donnera une fonction d'utilité ou une fonction de courbe d'indifférence? Si oui, comment résoudre ce problème?

microeconomics utility consumer-theory

— Howard Black
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Oui, sous certaines conditions. C'est le problème classique d' intégrabilité : pour une discussion détaillée, voir d' excellentes notes de Kim Border .

Plusieurs autres conditions techniques sont requises, mais la condition économiquement la plus substantielle est que la matrice de Slutsky doit toujours être symétrique et semi-définie négative. Pour être concret, si nous définissons le ième élément de la matrice de Slutsky en comme étant $ij$ $(p,m)$ alors nous devons avoirpour tous, et aussi pour tout vecteurnous devons avoir pour tous Lanécessité

σ_{je j} (p, m) = \frac{\partial {ré}_{je} (p, m)}{\partial p_{j}} + {ré}_{j} (p, m) \frac{\partial {ré}_{je} (p, m)}{\partial m}

$\sigma_{ij}(p,m)=\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial p_j}+D_j(p,m)\frac{\partial D_i(p,m)}{\partial m}$

σ_{i j} (p, m) = σ_{j i} (p, m)

$\sigma_{ij}(p,m)=\sigma_{ji}(p,m)$

(p, m)

$(p,m)$

v

$v$

(p, m)

$(p,m)$

\sum_{je} \sum_{j} σ_{je j} (p, m) v_{je} v_{j} \leq 0

$\sum_i \sum_j \sigma_{ij}(p,m)v_iv_j \leq 0$ de ces conditions découle immédiatement de la théorie de base du consommateur, qui montre que si la demande marshallienne est dérivée de la maximisation contrainte d'une fonction d'utilité, alors la matrice de Slutsky est symétrique et semi-définie négative. Mais la suffisance de ces conditions (en conjonction avec d'autres hypothèses techniques) pour nous de supprimer une fonction d'utilité est une question plus compliquée, et pour obtenir les détails, je recommande les notes de Border ou une autre micro source avancée.

$i=1,2$

\frac{\partial e (p, u)}{\partial p_{je}} = h_{je} (p, u) = {ré}_{je} (p, e (p, u))

$\frac{\partial e(p,u)}{\partial p_i} = h_i(p,u) = D_i(p,e(p,u))$

D

$D$

e

$e$

(\bar{p}, \bar{m})

$(\bar{p},\bar{m})$

\bar{u}

$\bar{u}$

e (\bar{p}, \bar{u}) = \bar{m}

$e(\bar{p},\bar{u})=\bar{m}$

p_{1}

$p_1$

i = 1

$i=1$

e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u})

$e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})$

p_{1}

$p_1$

h (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}) = ré (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, e (p_{1}, {\bar{p}}_{2}, \bar{u}))

$h(p_1,\bar{p}_2,\bar{u})=D(p_1,\bar{p}_2,e(p_1,\bar{p}_2,\bar{u}))$

p_{1}

$p_1$

$\bar{u}$ $p_1$ $p_1$

— nominalement rigide
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